zeigen von identität

13.03.2006, 11:12

lego

zeigen von identität

hallo, aufgabenstellung ist folgende, soweit ich sie recht in erinnerung habe.

aus n männern und n frauen soll ein n-köpfiger ausschuss gebildet werden. zeigen sie die anzahl der möglichkeiten auf 2 verschiedene arten und zeigen sie somit, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix})^2+(\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix})^2+...+(\begin{pmatrix} n \\ n \end{pmatrix})^2 =\begin{pmatrix} 2n \\ n \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich wollte nur mal fragen, ob mir jemand sagen kann, ob ich da den richtigen gedankengang habe:

also die rechte seite der gleichung kommt zustande, indem ich die variationen ohne wiederholung der gesamten menge betrachte. die gibt dann $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix}2 n \\ n \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

die rechte seite kommt zustande, indem ich die männer und frauen einzeln betrachte.

ich glaube, dass verhält sich, wie der kombinatorische beweis des binomischen lehrsatzes, ich schaue mir an, wie viele möglichkeiten es gibt, dass k leute aus den n genommen werden. mein a und b sind 0 und 1. 0 für eine person wird nicht genommen, 1, für eine person wird genommen.

die möglichkeiten sind dann ja $\begin{eqnarray*} (0+1)^n \end{eqnarray*}$ oder anders geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 0^{n-k}1^k \end{eqnarray*}$

da für männer und frauen das gleiche gilt, habe ich:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 0^{n-k}1^k+\sum_{k=0}^n~ \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 0^{n-k}1^k=\sum_{k=0}^n~ (\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix})^2 0^{n-k}1^k=\sum_{k=0}^n~ (\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix})^2 \end{eqnarray*}$

und das ist die linke seite der gleichung.

mein problem ist, dass mir die ganze erklärung etwas schwammig vorkommt.

13.03.2006, 11:46

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Zitat:

Original von lego (korrigiert)
also die rechte seite der gleichung kommt zustande, indem ich die Kombinationen ohne wiederholung der gesamten menge betrachte. die gibt dann $\begin{eqnarray*} (\begin{pmatrix}2 n \\ n \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

die linke Seite kommt zustande, indem ich die männer und frauen einzeln betrachte.

Dann kann ich zustimmen.

Und zur linken Seite: Beachte noch die Identität $\begin{eqnarray*} {n \choose k} = {n \choose n-k} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 0\leq k\leq n \end{eqnarray*}$ .

13.03.2006, 12:01

lego

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ich habe gerade gesehen, dass 0 und 1 schlecht gewählt waren. da die 0 ja die terme wegfallen lässt. wenn ich allgemein bei a und b bleibe und nur die n über k terme als anzahl der möglichkeiten betrachte, die potenzen von a und b nicht beachete, ist das sicher besser, oder?

wo soll ich denn deine identität einbauen arthur? ich sehs grad nicht.

13.03.2006, 12:04

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Wenn n Leute aus 2n Leuten (n Männer + n Frauen) ausgewählt werden, dann bezeichne k die Anzahl der ausgewählten Männer. Dann ist die Anzahl der ausgewählten Frauen zwangsläufig gleich n-k.

Und jetzt kann noch das k variieren... Alles klar?

13.03.2006, 12:06

lego

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aha, also du sagst, da ja n über k gleich n über n-k ist, folgt aus den variationen der k männer die n-k variationen der frauen. da diese gleich sind, habe ich die ^2 überall auf der linken seite, hab ich das richtig verstanden?

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