Grenzwert einer Funktion

07.05.2004, 17:30

d4556

Grenzwert einer Funktion

hallo.
ich komme mit einer aufgabe leider garnicht klar. kann mir jemand helfen?
und zwar ist der grenzwert folgender funktion gesucht:

$\begin{align*} \lim_{x \to 0} (\sqrt{1+x}-1)/x \end{align*}$

wobei da oben nicht die quadratwurzel, sonder die 5. wurzel gemeint ist. konnte der formeleditor irgendwie nicht!

danke!
daniel

07.05.2004, 17:42

Steve_FL

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hm...ich denke, das geht gegen 1...

das unter der Wurzel wird beinahe 1...wenn wir nun 1 abziehen, kriegen wir eine Zahl die fast 0 ist, genauso wie unten...
und eine Zahl durch sich selbst ist 1...deshalb denke ich, dass die Funktion gegen 1 geht...

mfg

07.05.2004, 17:50

Drödel

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Ne geht nicht gegen 1, der Grenzwert ist 1/5 !
Sagt dir die Regel von L'Hospital etwas? Damit könnte man das ganz einfach lösen. Dabei "fällt" auch das 1/5 ab. Augenzwinkern

Happy Mathing

07.05.2004, 18:00

d4556

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hi.
also das ergebnis ist laut programm genau 0,2 (1/5).
ich komme aber einfach nicht auf den rechenweg.
MfG

07.05.2004, 18:01

d4556

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L'Hospital sagt mir was.
damit gehts auch easy.
nur soll jetzt die aufgabe ohne hilfe der differentialrechnung gelöst werden. :-(

habe aber keine idee!!

07.05.2004, 18:33

Drödel

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$\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[5]{1+x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{5}}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{x}{5} -\frac{2x^2}{25} + \frac{6x^3}{125}- \frac{21x^4}{625} + - ... -1}{x} \end{align*}$

sollte dir weiterhelfen. Potenzreihenentwicklung von (1+x)^{1/5} - wobei so ganz ohne Differentialrechnung ist das nun auch wieder nicht, denn da "steckt ja Taylor dahinter". Jedoch kann man diese Formel in Tabellenwerken nachschlagen z.B. Rottmann -Mathematische Formelsammlung - S.120

Happy Mathing

07.05.2004, 18:49

Fallen_Angel

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Dann nimm doch einfach die Argumentation von Steve!

Zerlegen in

$\begin{align*} $\(\lim_{x \to 0} {\sqrt[5]{1+x} $-1\) :${\lim_{x \to 0}{x}} $ \end{align*}$

Und dann argumentieren, dass Zähler und Nenner offensichtlich auf den selben Wert zustreben, jedoch auf Grund der fünften Wurzel der Zähler seinem Grenzwert fünfmal langsamer zustrebt (Ordnung von Zähler und Nenner).

Ansonsten könnte ich das mir ohne L'Hospital nicht erklären, wobei der Versuch oben auch nicht grad der beste ist. verwirrt

Oh, Drödel spricht da ähnliches an Augenzwinkern

Ist übrigens auch einfach als Potenzgesetz zu verkaufen notfalls. Big Laugh

07.05.2004, 19:17

Poff

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Leider falsch, der Grenzwert ist 1/2

smile

Edit
sorry ich sehe gerade da war ja die 5. Wurzel gemeint :-ooo

07.05.2004, 19:23

d4556

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hä?
der grenzwert ist und bleibt 1/5.
und zwar hilft die oben stehende reihe weiter!
nur noch die 1. eins von der letzten abziehen,
dann noch jeden summanden im zaehler durch den nenner "x" teilen und schon strebt alles gegen null.. ausser das erste 1/5...
UND das alles ohne l'hospital oder sonstiger hilfe der diff-rechnung!

;-)

c-ya

07.05.2004, 19:35

Poff

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Ich habs doch EDITIERT ... :-oo

smile

07.05.2004, 20:34

Drödel

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Zitat:

Original von Fallen_Angel
Dann nimm doch einfach die Argumentation von Steve!
Zerlegen in
$\begin{align*} $\(\lim_{x \to 0} {\sqrt[5]{1+x} $-1\) :${\lim_{x \to 0}{x}} $ \end{align*}$

Und dann argumentieren, dass Zähler und Nenner offensichtlich auf den selben Wert zustreben, jedoch auf Grund der fünften Wurzel der Zähler seinem Grenzwert fünfmal langsamer zustrebt (Ordnung von Zähler und Nenner).

Sag mal was machst den du für Sachen?. Wenn du die Grenzwerte getrennt berechnest, dann steht da 0/0 und das ist offensichtlich nicht so "ganz gut", oder! Augenzwinkern

So hat das L'Hospital auch nie gewollt! Der würde sich nicht nur im Grabe rumdrehen, der würde sogar wieder aufstehen und es korrigieren wollen, wenn er das mitkriegen würde! Augenzwinkern

Zitat:

Oh, Drödel spricht da ähnliches an Augenzwinkern

Ähnliches? Da würde ich mich dagegen verwehren wollen!!!;-) Ähnliches ... nein das hat absolut nix Ähnliches!!!!!!!
Nix für ungut Augenzwinkern

Happy Mathing

07.05.2004, 20:44

Fallen_Angel

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Man muss deshalb ja auch argumentieren. Oder wie hast Du vor l'Hospital den Grenzwert $\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \end{align*}$ "berechnet"?

Und von der Argumentation über die Ordnung von Nenner und Zähler bis zur Potenzreihenentwicklung, die sie ja nur mathematisch als Folge aufschlüsselt, ist nicht weit, oder?

08.05.2004, 00:37

Irrlicht

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So und nun OHNE die Krankenhausregel: Augenzwinkern

Du schreibst die Formel um:
$\begin{align*} \frac{\sqrt[5]{1+x}-1}{x}=\frac{\sqrt[5]{1+x}-1}{\sqrt[5]{1+x}^5-1} \end{align*}$
und klammerst im Nenner den Faktor $\begin{align*} \sqrt[5]{1+x}-1 \end{align*}$ aus. Mit der Ersetzung $\begin{align*} y=\sqrt[5]{1+x} \end{align*}$ hat man also
$\begin{align*} =\frac{1}{y^4+y^3+y^2+y+1} \end{align*}$
und mit $\begin{align*} x\to 0 \end{align*}$ geht y gegen 1, und man erhält den Grenzwert 1/5.

08.05.2004, 00:39

Fallen_Angel

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Wirst Dem Titel neben dem Beitrag gerecht! Big Laugh

08.05.2004, 00:42

Irrlicht

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Nö, ich bin gar nicht vollkommen und nicht mal eine Zahl. unglücklich

*ggg* Aber das gute daran ist, dass ich dann keine Null sein kann. Augenzwinkern

08.05.2004, 10:46

Drödel

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Zitat:

Original von Fallen_Angel
Big Laugh

Man muss deshalb ja auch argumentieren. Oder wie hast Du vor l'Hospital den Grenzwert $\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \end{align*}$ "berechnet"?

Wie man sowas halt ohne L'Hospital halt macht: Mit der Epsilon-Delta-Definition des Grenzwertes:

$\begin{align*} \forall \varepsilon > 0 \exists \delta>0 : |f(x) - g| < \varepsilon falls x > \delta \end{align*}$ dabei ist g der Grenzwert gegen den f konvergiert für x gegen unendlich.

Ist nicht exakt die "Originaldefinition" - diese hier geht aber schöner für Grenzwerte mit x gegen undendlich

Zitat:

Und von der Argumentation über die Ordnung von Nenner und Zähler bis zur Potenzreihenentwicklung, die sie ja nur mathematisch als Folge aufschlüsselt, ist nicht weit, oder?

Tja schon, nur hast du hier eine "gebrochene Ordung" bzw. wenn du 1/5 durch hoch -5 ersetzt eine "negative Ordnung" . Wobei dies nicht mein "Hauptproblem" bei deiner Aussage war. Es war der Ausdruck:

Zitat:

$\begin{align*} $\(\lim_{x \to 0} {\sqrt[5]{1+x} $-1\) :${\lim_{x \to 0}{x}} $ \end{align*}$

Das ist NONSENS Augenzwinkern

. Du musst um Teilen zu dürfen erst die Grenzwerte berechnen und dann steht das NULL DURCH NULL und das ist "Hewok". Augenzwinkern

Es hat schon seinen Grund warum L'Hospital erst die Existens der Einzelgrenzwerte verlangt, bevor er einer Aufteilung auf Zähler und Nenner "zustimmt".

Happy Mathing

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