faktoralgbra zur kongruenzrelation

14.03.2006, 11:54

uwerothfeld

faktoralgbra zur kongruenzrelation

hallo zusammen,

ich soll zu fogender Relation eine Faktoralgebra aufstellen, wenn sie eine Kongruenzrelation ist (zur Algebra N der natürlichen Zahlen, auf der nur Addition und Nachfolger definiert sind):

(1 × 1) vereinigt ((N \ 1) × (N \ 1))

dies ist zunächst erst einmal eine ÄR, da reflexiv, symmetrisch und transitiv.

eine Kongruenz sollte es auch sein da:

succ(0)=0+1 $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [n]
succ(n)=n+1 (n!= 0) $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [n]

add([0][0])=0+0=[0] $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [0]
add([0][n])=0+n=[n] $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [n]
add([n][0])=n+0=[n] $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [n]
add([n][n])=n+n=[n] $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ [n]

folgt das ist eine Kongruenzrelation, oder??

nun meine frage, wie stelle ich daraus die faktoralgebra auf?

mfg

14.03.2006, 14:05

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: faktoralgbra zur kongruenzrelation
Die Natürlichen Zahlen enthalten die Null nicht.

Wenn du das machst, erhälst du genau 2 Kongruenzklassen: [1], [2], die die Elemente der Faktoralgebra bilden. Wie diese 2 Klassen in der Faktoralgebra verknüpft werden, ist klar.

Grüße Abakus smile

EDIT: Wenn du die 0 dazu nimmst, ist es keine Kongruenzrelation: es gilt 0 R 2, aber nicht 1 R 3.

14.03.2006, 14:14

uwerothfeld

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

also bei uns enthalten die natürlichen zahlen die null, da sie induktiv von der null an definiert sind, als 0=leere menge und n+1 = als n vereinigt mit der menge die n enthält. wonach dann 2={0,1} ist.

Zitat:

Wie diese 2 Klassen in der Faktoralgebra verknüpft werden, ist klar.

Dies ist mir gerade nicht klar, könntest du dazu mal was ausführen.

danke.

14.03.2006, 14:24

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn die 0 in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ enthalten sein soll, ist die von dir definierte Relation keine Kongruenz:

Es gilt: [0] = [2]. Da die Relation mit der einstelligen Nachfolger-Operation verträglich sein muss, muss nun auch gelten: [1] = [3]. Das ist aber falsch.

Die Operationen der (universellen) Algebra kannst du einfach auf die Repräsentanten der Klassen anwenden.

Grüße Abakus smile

14.03.2006, 14:37

uwerothfeld

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo abakus,

wieso:

Zitat:

Es gilt: [0] = [2]

?

ich habe doch nur die Klassen [0] und [1]?

es ist ja die frage ob die geg. relation eine KR ist. kannst du mir daher etwas genauer erklären warum dies hier nicht der fall ist??? ich habe da ein echtes verständnis problem.

auf jeden fall erst mal danke.

mfg

14.03.2006, 14:54

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von uwerothfeld
wieso:

Zitat:

Es gilt: [0] = [2]

?

ich habe doch nur die Klassen [0] und [1]?

Durch welchen Repräsentanten eine Klasse bezeichnet wird, ist ja egal. 0 und 2 stehen ja in Relation zueinander, gehören also in dieselbe Klasse.

Genauer gilt:

$\begin{eqnarray*} [0] = \mathbb N_0 - \{1\} \end{eqnarray*}$ .

Also kann ich auch schreiben: [0] = [2] = [3] = ... = [1.000] etc.

Bei einer Kongruenzrelation R muss für den einstelligen Operator succ nun folgendes gelten (nach Definition einer Kongruenzrelation):

$\begin{eqnarray*} \forall a~ \forall b : ((a, b) \in R \Rightarrow (succ(a), succ(b)) \in R) \end{eqnarray*}$ .

Ich habe nun einfach a:=0 und b:=2 gesetzt und festgestellt, dass diese Bedingung verletzt ist.

Grüße Abakus smile

14.03.2006, 15:03

uwerothfeld

Auf diesen Beitrag antworten »

hi,

ok verstehe ich.

jedoch wenn ich die Relation betrachte: (1 × 1) vereinigt ((N \ 1) × (N \ 1))

sind das alle Paare von {1..n} x {1..n} und das Paar (0,0).

wieso ist da gleich [0]=[2]?? in meinen augen habe ich nur folgende klassen:

[0]={(0,0)}
[1]={(1,1),(1,2),(2,1),....}

warum ist das falsch? nur so ist doch gegeben das die relation eine Äuquivalenzrealtion ist. oder??

mfg

14.03.2006, 15:28

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Du bewegst dich auf verschiedenen Ebenen:

Es ist: $\begin{eqnarray*} R = \{(1, 1)\} \cup ((\mathbb N_0-\{1\}) \times (\mathbb N_0-\{1\})) \end{eqnarray*}$ .

Demzufolge gilt zB: $\begin{eqnarray*} (1, 2), (1, 3) \notin R, ~ (0,2), (0,3) \in R \end{eqnarray*}$ .

Die Relation R zerlegt dir $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ nun in 2 Klassen:

$\begin{eqnarray*} [0] := \{n : (0, n) \in R\} = \mathbb N_0 - \{1\} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} [1] := \{n : (1, n) \in R\} = \{1\} \end{eqnarray*}$ .

Diese beiden Klassen bilden die von der Äquivalenzrelation R induzierte Partition von $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ . Die Klassen sind also Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ , und nicht von $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0 \times \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ .

Grüße Abakus smile

14.03.2006, 15:52

uwerothfeld

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

klar versteh. den fehler hab ich schon tausendmal gemacht. danke. also sind die operationen dann einfach nur verküpfungen der klassenrepräsentanten. versteh. sehr schön.

eine anmerkung muß ich jedoch machen: N\1 != N\{1}, da 1={0}.
somit komme ich auf die Relation:={(0,0),(1,1),(1,2),(2,1),....}.

womit es aber eine KR wäre, oder??

ich danke dir für deine hilfe.

14.03.2006, 18:13

Abakus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von uwerothfeld
eine anmerkung muß ich jedoch machen: N\1 != N\{1}, da 1={0}.
somit komme ich auf die Relation:={(0,0),(1,1),(1,2),(2,1),....}.

womit es aber eine KR wäre, oder??

Ja, das hab ich als $\begin{eqnarray*} \mathbb N_0-\{1\} \end{eqnarray*}$ missverstanden traurig

. So ist $\begin{eqnarray*} ~1 = \{\O\}, ~ \mathbb N_0 - 1 = \mathbb N \end{eqnarray*}$ .

Damit hast du eine Kongruenz.

Grüße Abakus smile

14.03.2006, 23:37

uwerothfeld

Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,

ich bin begeistert. dann habe ich doch etwas verstanden. ich danke dir für deine hilfe.

gruß und mfg

uwe

Neue Frage »

Antworten »

faktoralgbra zur kongruenzrelation

Verwandte Themen