Dimensionsformel / 1.Isomophiesatz

14.03.2006, 18:11	Daktari	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimensionsformel / 1.Isomophiesatz Hi Sei $\begin{eqnarray} f: V-> W \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus (lineare Abbildung) Wie zeigt man die Dimensionsformel $\begin{eqnarray} (dimV) = dim (kerf) + dim (imf) \end{eqnarray}$ mit dem ersten Isomorphiesatz "Sei $\begin{eqnarray} f: V-> W \end{eqnarray}$ ein Homomorphismus, sei $\begin{eqnarray} U \leq V \end{eqnarray}$ dann faktorisiert f eindeutig über $\begin{eqnarray} V/U \end{eqnarray}$ d.h. es gibt genau eine Abbildung $\begin{eqnarray} g: V/U -> W \end{eqnarray}$ Ich habe wirklich keine Ahnung
14.03.2006, 19:58	phi	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst sicherlich $\begin{eqnarray} U \subseteq V \end{eqnarray}$ . Wenn ich nicht völlig auf dem Holzweg bin, müsstest du nur zeigen das $\begin{eqnarray} dim(V) = dim (U) + dim (V/U) \end{eqnarray}$ , bzw. $\begin{eqnarray} dim(V/U) = dim (V) - dim (U) \end{eqnarray}$ gilt. Da V/U isomorph (Bijektivität) zu W ist, haben sie die gleiche Dimension. Und W kann man als zu U komplementären Unterraum auffassen. Zum Beweis von $\begin{eqnarray} dim(V/U) = dim (V) - dim (U) \end{eqnarray}$ muss gezeigt werden, dass man eine Basis B von U zu einer Basis C von V ergänzen kann. Die Differenz an Basisvektoren zwischen B und C ist dann die Dimension von V/U. mfg, phi

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