Exponentialfunktionen

07.05.2004, 23:44

Mathespezialschüler

Exponentialfunktionen

Hi, ich hab mal eine in meinem Buch als anspruchsvoll gekennzeichnete Aufgabe:

Zitat:

Sascha behauptet: Zu zwei gegebenen Punkten gibt es genau eine Exponentialfunktion $\begin{align*} y\ =\ a\ \cdot \ b^x \end{align*}$ , deren Graph die beiden Punkte enthält.
Kristina entgegnet: Nein, es gibt Fälle, in denen das Verfahren aus Aufgabe 2 nicht zum Ziel führt. Erläutere Kristinas Meinung durch zwei Beispiele.

Hier erstmal das "Verfahren aus Aufgabe 2":
Gegeben zwei Punkte:
A (0,5|6) und B (-1|0,75)

Zitat:

Es muss gelten:

$\begin{align*} a\ \cdot \ b^{0,5}\ =\ 6 \end{align*}$ und $\begin{align*} a\ \cdot \ b^{-1}\ =\ 0,75 \end{align*}$

Division ergibt:

$\begin{align*} \frac{a\ \cdot \ b^{0,5}}{a\ \cdot \ b^{-1}}\ =\ \frac{6}{0,75} \end{align*}$

$\begin{align*} b^{1,5}\ =\ 8 \end{align*}$

$\begin{align*} b\ =\ 4 \end{align*}$

Dann ist:

$\begin{align*} a\ \cdot \ 4^{0,5}\ =\ 6 \end{align*}$

$\begin{align*} a\ \cdot \ 2\ =\ 6 \end{align*}$

$\begin{align*} a\ =\ 3 \end{align*}$

Gesuchte Funktion:

$\begin{align*} y\ =\ 3\ \cdot \ 4^x \end{align*}$

Ich hab zwar ne Lösung, aber die find ich sehr einfach für eine anspruchsvolle Aufgabe:

Also wenn man einen Punkt aus dem dritten oder vierten Quadranten hat, so gibt es keine Exponentialfunktion, deren Graph durch diesen Punkt verläuft. Das gleiche gilt, wenn man einen Punkt A (x|0) hat.

$\begin{align*} $\ y\ =\ a\ \cdot \ b^x \end{align*}$ werden in diesem Buch mit folgenden Einschränkungen als Exponentialfunktionen bezeichnet:
1. $\begin{align*} a\ >\ 0 \end{align*}$
2. $\begin{align*} b\ >\ 0 \end{align*}$ ;
$\begin{align*} \ \ b\ \neq \ 0\ $ \end{align*}$

Habt ihr noch ein paar andere Lösungen, also kennt ihr z.B. Exponentialfunktionen, die zwei Schnittpunkte miteinander haben??

08.05.2004, 00:07

Fallen_Angel

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Selbst, wenn 0<b>1 oder b=1 ergibt sich dieselbe Problematik.

Ich würde sagen, Du hast mit Deiner Argumentation Recht und die Aufgabe ist schlicht....einfach. verwirrt

08.05.2004, 01:04

Irrlicht

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Kannst dir die Aufgabe ja schwerer machen, indem du die offensichtlichen Ausnahmen weglaesst:
Gegeben sind 2 Punkte oberhalb der x-Achse, die weder senkrecht uebereinander noch waagerecht nebeneinander liegen. Frage: Gibt es durch diese 2 Punkte eine und nur eine Exponentialfunktion obiger Form?

08.05.2004, 14:36

Mathespezialschüler

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Aber dann gibt es nur eine Exponentialfunktion durch diese beiden Punkte. Ist doch so oder nicht?

08.05.2004, 14:45

Irrlicht

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Ja, du kannst es auch nach dem "Verfahren von Aufgabe 2" berechnen. Augenzwinkern

08.05.2004, 15:09

Mathespezialschüler

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Ja genau das sag ich ja. Also ist die Antwort auf die Frage:

Man kann bei zwei gegebenen Punkten nur dann keine Exponentialfunktion bestimmen, wenn die y-Koordinate eines Punktes $\begin{align*} \leq \end{align*}$ 0 ist oder wenn die beiden Punkte gleiche x-Koordinaten oder gleiche y-Koordinaten haben.

So wäre es mMn richtig. Wäre schön, wenn mich nochmal jemand bestätigt. Danke!

08.05.2004, 15:38

Irrlicht

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Richtig ist deine Aussage (ich fühl mich wie Yoda):

"Man kann bei zwei gegebenen Punkten nur dann keine Exponentialfunktion bestimmen, wenn die y-Koordinate eines Punktes $\begin{align*} \leq \end{align*}$ 0 ist oder wenn die beiden Punkte gleiche x-Koordinaten oder gleiche y-Koordinaten haben."

Allerdings fällt mir auf, dass die Bedingung "gleiche y-Koordinate" unnötig ist, denn in dem Fall ist b=1 und a=y die eine Lösung.

Übrigens:
Wenn beide y-Koordinaten kleiner als 0 sind, gibt es eine Funktion der Form a*b^x, die durch die beiden Punkte geht - aber da sie ein negatives a hat, ist sie keine Exponentialfunktion im von dir angegebenen Sinne.

08.05.2004, 15:56

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Irrlicht
Allerdings fällt mir auf, dass die Bedingung "gleiche y-Koordinate" unnötig ist, denn in dem Fall ist b=1 und a=y die eine Lösung.

Übrigens:
Wenn beide y-Koordinaten kleiner als 0 sind, gibt es eine Funktion der Form a*b^x, die durch die beiden Punkte geht - aber da sie ein negatives a hat, ist sie keine Exponentialfunktion im von dir angegebenen Sinne.

Gerade die Definitionen muss ich ja bei dieser Aufgabe beachten und ausschließen.

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