vereinfachung Differentialrechnung

14.03.2006, 19:20

muhu der Gast

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vereinfachung Differentialrechnung

so hab ne sehr dringende, kleine frage :
berechnen der Tangentensteigung an den Graphen

f(x) = 2Wurzel(x) ( 2 mal die Wurzel aus x) Po (9|6)

f(x) - f(xo) 2Wurzel(X) - 6
--------------- = ----------------------- = wie krieg ich die wurzel jetzt vereinfacht so
x - xo x - 9 dass ich dann die tangentensteigung ausrechnen kann?
Komme gerade nich weiter, sry weiss nichz wie das wurzelzeichen geht

mfg max

14.03.2006, 19:23

muhu der GAst

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2*Wurzel aus x -6
-------------------------

x -9

das is der rbuch

14.03.2006, 19:26

Lazarus

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Ich Latexiere das mal kurz:

$\begin{eqnarray*} f(x)=2\cdot \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(9)=\lim_{x\to 9}\frac{f(x)-f(9)}{x-9} \end{eqnarray*}$

das wäre die tangenten steigung.
die wurzel kannst du umschreiben zu ^1/2 und dann einfach lösen, oder direkt ableiten (jenachdem was ihr verwenden dürft)

14.03.2006, 19:27

phi

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Im FORMELEDITOR gibt´s einen Knopf, wo eine Wurzel draufsteht...

Tip: Draufklicken und geschweifte Klammer ausfüllen.

Ebenso gibt´s einen Knopf, wo ein Bruch zu sehen ist...

Draufklicken und Zähler (oben) in die erste geschweifte Klammer, Nenner in die Zweite.

mfg, phi

14.03.2006, 19:30

muhu der gast

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sry .. hab mich vertan es ist

2Wurzelx (

nich 2* wurzelx

wie gehts denn dann?

sry jungs für den stress

14.03.2006, 19:35

muhu der GAst

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$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{x} + 6<br /> <br /> --------------<br /> <br /> x - 9 \end{eqnarray*}$

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14.03.2006, 20:03

phi

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Brüche füllt man so aus: \frac{oben}{unten}

Du meinst also:

$\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{2\sqrt{x} + 6}{x-9} \end{eqnarray*}$

14.03.2006, 20:04

muhu der gast

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ja genau

14.03.2006, 20:05

muhu der gast

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wie vereinfache ich das? 2 ausklammer und dann im nenner

das gesetz a-b 0 ( wurzel(a) - wurzel(b) ) * ( wurzel(a) + wurzel(b) )

dann könnte ich kürzen... und den limes benutzen

14.03.2006, 20:07

phi

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okay, jetzt musst du nur die Quotientenregel anwenden:

u=Zählerfunktion

v=Nennerfunktion,

Dann ist

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \frac{u'v-uv'}{v^2} \end{eqnarray*}$

mfg, phi

14.03.2006, 20:09

muhu der Gast

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ja leider sind wir ja noch nicht so weit.. wir hatten die formel noch nicht sind ganz am anfang... geht da sauch anders???

14.03.2006, 20:34

phi

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Okay, jetzt verstehe ich. Ja, das können wir vereinfachen, indem wir 2 ausklammern, und die 3.Binomische Formel anwenden:

$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{x}+6=2(\sqrt{x} +3) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x-9=(\sqrt{x} +3)(\sqrt{x} -3) \end{eqnarray*}$

Edit: Bist du sicher das der Punkt P_o(9;6) heißt ? Bei x=9 wird der Nenner zu 0 und ist nicht stetig ergänzbar, hat also eine Asymtote...

mfg, phi

14.03.2006, 21:02

muhu der Gast

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und mit der h-methode

da hab ich dann stehen
2Wurzel(9+h)- 6
------------------------
h

wie krieg ich ds vereinfacht=

14.03.2006, 21:19

muhu der GAst

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ja die punkte sind richtig.. wie geht das denn ejtzt bei der h-methode ??

14.03.2006, 21:26

phi

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Zitat:

Definition: "Eine Funktion, die ein offenes Intervall U auf die reellen Zahlen abbildet $\begin{eqnarray*} (f:U \to \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ , heißt differenzierbar an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \in U \end{eqnarray*}$ , falls der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(x_0 +h) - f(x_0)} {h} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} h=x-x_0 \end{eqnarray*}$ , existiert."

Genau haben wir also:

$\begin{eqnarray*} f'(x_0)= \lim_{h \rightarrow 0} \frac {\frac{2}{\sqrt{x_0+h}-3} - \frac{2}{\sqrt{x_0}-3}} {h} \end{eqnarray*}$

Aber Moment : Mehrere Punkte ? oder ein Punkt ? Man kann nicht 2 verschiedene Punkte in die Definition einsetzen.

mfg, phi

14.03.2006, 21:29

muhu der gast

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ich hab nur einen Punkt gegeben Po(9/6)

jooo... is das dein endergebnis... durch zwei geteilt

14.03.2006, 21:35

muhu der GAst

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verstehe nicht ganz wie dud arauf kommst bei der h-methode

durch schlichtes einsetzen

haben wir ja

2wurzel(9+h) - 6 f(xo)=6 =y von Po
--------------------------
h

14.03.2006, 21:38

Lazarus

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ich bin immernoch der Meinung es handelt sich hierrum...

14.03.2006, 21:41

phi

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Wegen

$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{x}+6=2(\sqrt{x} +3) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x-9=(\sqrt{x} +3)(\sqrt{x} -3) \end{eqnarray*}$

kann man die Funktion als

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{2}{\sqrt{x}-3} \end{eqnarray*}$

schreiben, und das Problem ist dass 9 eben nicht das y zu x=6 ist. P_o liegt nicht in f.
(Probier bitte den Formeleditor, man versteht kaum was du meinst...)

mfg

14.03.2006, 21:47

muhu der gast

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ja..

aber wie hast du die 2 in den nenner gepackt ... und mit welchem gesetz ahste das gemacht ?

... und wie vereinfache ich das ganze so das der doppebruch wegkommt... muss doch was machen bevor ich den kehwert benutze

14.03.2006, 21:54

phi

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Zitat:

Original von phi
Wegen

$\begin{eqnarray*} 2 \sqrt{x}+6=2(\sqrt{x} +3) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x-9=(\sqrt{x} +3)(\sqrt{x} -3) \end{eqnarray*}$

bekommst du

$\begin{eqnarray*} \frac{2 \sqrt{x}+6}{x-9}= \frac{2(\sqrt{x} +3)}{(\sqrt{x} +3)(\sqrt{x} -3)} \end{eqnarray*}$

und dann kannst du

$\begin{eqnarray*} (\sqrt{x} +3) \end{eqnarray*}$

kürzen..

mfg

14.03.2006, 21:57

muhu der gast

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ja das habe ich ja.. aber es gibt ja auch noch den zweiten lösungsweg mit h, und den schritt habe ich da bei dir nicht verstanden...

wie du das umgesetzt hast

14.03.2006, 22:00

phi

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Erkläre bitte was genau "der zweite lösungsweg mit h" ist.

mfg, phi

14.03.2006, 22:17

muhu der GAst

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es gibt ja zwei läsungswege

f(x) - f(xo) / x - xo

oder

f(xo + h) - f(xo) / h

und wie gesagt den oberen, mit dem hab ich meine steigung erreicht..jedoch beim unteren lösung weg wenn ich die funktion f(x) = 2V(x) und den PUnkt der so im Buch steht Po(9/6) ... einsetze
( V = Wurzelzeichen)

2V(9+h) - 6 / h

in diesem fall weiss ich echt nicht wie ich das Gesetz a-b = ..... anwenden soll um den bruch zu vereinfachen... ich möchte ja schließlich beide wege beherrschen

15.03.2006, 08:29

phi

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moin,

was ist denn nun deine Funktion??

$\begin{eqnarray*} f(x):= \frac{2 \sqrt{x}+6}{x-9} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} f(x):=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ ?

Es ist wirklich schwer dir zu helfen, wenn du nicht klar und eindeutig schreibst worum es geht.

Ich habe doch die gleiche Definition angegeben:

Zitat:

Original von phi

Zitat:

Definition: "Eine Funktion, die ein offenes Intervall U auf die reellen Zahlen abbildet $\begin{eqnarray*} (f:U \to \mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ , heißt differenzierbar an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \in U \end{eqnarray*}$ , falls der Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x) - f(x_0)} {x - x_0} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac {f(x_0 +h) - f(x_0)} {h} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} h=x-x_0 \end{eqnarray*}$ , existiert."

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