Aufgabe zur Dichtefunktion

14.03.2006, 19:25	Camponi	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe zur Dichtefunktion Leider helfen mir die bisherigen Beiträge zur Dichtefunktion nicht wirklich weiter, daher hier mein Problem: Die Lebensdauer eines Transistors wird näherungsweise durch die Funktion $\begin{eqnarray} f(t)=\frac{1}{1000} e^{\frac{-t}{1000h}} \end{eqnarray}$ beschrieben. und nun ist nach der mittleren Lebensdauer gefragt, was ja nichts anderes als Erwartungswert heißt. und dir Formel für den Erwartungswert heißt ja $\begin{eqnarray} \int_{-\infty}^{+\infty}~t~f(t)~dt \end{eqnarray*}$ aber wenn ich das integriere bekomm ich Minus Unendlich raus... ?? Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet!
14.03.2006, 19:51	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Darstellung von f(t) gilt nur für t>=0, denn eine Lebensdauer kann ja wohl schwerlich negativ sein. Deswegen gilt für die Dichte f(t)=0 für negative t, d.h. t<0 . Im übrigen handelt es sich hier einfach um eine Exponentialverteilung.
14.03.2006, 21:15	Camponi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, stimmt die Einschränkung habe ich vergessen. heißt das dann auch, dass ich das Integral für den Erwartungswert nur von 0 bis Unendlich errechnen muss? Wahrscheinlich schon... Da käme dann 1000h raus. Wenn dann danach gefragt ist, wieviel % der Transistoren eine Lebensdauer von über 500h haben, muss ich dann das Integral von 500 bis unendlich nehmen? Das fände ich jetzt logisch...
14.03.2006, 21:19	Camponi	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, aber da käme dann als Lsg 909 raus, da kann was net stimmen... in meinem rumgekritzel, das schon etwas älter ist habe ich noch mit einer grenze von 0 bis 500 gerechnet, aber das finde ich unlogisch, weil ja nach einer lebensdauer von ÜBER 500 gefragt ist... vor allem kann doch das direkte Ergebnis der Integration noch kein Prozentsatz sein, oder?
14.03.2006, 22:10	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst jetzt wieder mit der normalen Dichtefunktion arbeiten, also diese Funktion integrieren. Lebensdauer von über 500h bedeutet : $\begin{eqnarray} 1- \int_{0}^{500}~f(t)~dt \end{eqnarray}$ Du ziehst also von der Gesamtwahrscheinlichkeit von 0 bis unendlich (das ergibt ja 1 wegen Dichtefunktion), die Wahrscheinlichkeiten für 0 bis 500h Lebensdauer ab und erhälst somit die Prozentzahl der Transistoren mit einer Lebensdauer von über 500h. Als Ergebnis müsste 60,65% rauskommen. Von 500 bis unendlich darf man streng genommen auch nicht integrieren, da ja danach gefragt ist wieviel Prozent der Transistoren eine Lebensdauer von ÜBER 500h haben. Prozentual macht das aber einen zu vernachlässigenden Unterschied... Ich hoffe das hilft dir weiter. Gruß Björn
14.03.2006, 22:28	Camponi	Auf diesen Beitrag antworten »
aah, DANKE!!! Jetzt hab ich das schon eher verstanden (also auch von der Logik ). Habe auch die 60,65% raus. Um sicherzugehen, ob ichs wirklich verstanden habe, folgende weiterführende Aufgabenstellung: Wir gehen von einer Produktionseinheit von 10.000 Transistoren aus. Wie viele "überleben" die ersten 100h? Wäre doch dann: $\begin{eqnarray} \int_{100}^{\infty}~0.001\cdot e^{-0.001t}~dt \end{eqnarray}$ Ergebnis: 90,48% -> mal 10.000 wären dann 9048 Stück, was ja auch logisch klingt.
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14.03.2006, 22:43	Bjoern1982	Auf diesen Beitrag antworten »
Genauso wirds gemacht. Falls du noch was wissen willst melde dich einfach nochmal. Gruß Björn
14.03.2006, 22:58	Camponi	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja zu 100% habe ich die Aufgabe glaube ich noch nicht bewältigt. Aber ich stelle jetzt mal noch meine restlichen Fragen auf einmal: Ein Dauertest mit den 10.000 Trans. wird nach 800h abgebrochen - Mittlere Lebensdauer der T. dieses Versuches? Da wären wir ja wieder bei E(t), den wir ja auch wieder mit obiger Formel im Intervall von 0 bis 800 berechenn sollten. Da erhalte ich als Lsg 191h, was mir etwas wenig erscheint...? Des weiteren ist nach der Zahl der Ausfälle der 100.h gefragt. Da würde ich dann f(100h) berechnen, erhalte dabei 0.0009048 - erscheint mir auch zu wenig. Wenn ich die Koordinate am Graph ablese, sind es ca. 0.09. Wie ist es richtig? letzte Frage: In welcher Stunde fallen von den ursprünglichen 10.000 T. 2 Stück aus? Habe mir folgendes überlegt: $\begin{eqnarray} 2=10000 \cdot 0.001 \cdot e^{\frac{-t}{1000}} \end{eqnarray}$ -> ln(0,2)= -t/1000 -> t=1609h (?) Zu einer letzten Stellungnahme zu meinen Überlegungen wäre ich sehr dankbar!

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