Grundgedanke eines Verfahrens zur Berechnung von sin alpha

08.05.2004, 00:52

Mathespezialschüler

Grundgedanke eines Verfahrens zur Berechnung von sin alpha

Ich hab noch ne als anspruchsvoll gekennzeichnete Frage aus meinem Buch. Dazu erst einmal eine Erklärung aus dem Buch als Zitat:

Zitat:

Es gibt viele Verfahren um mithilfe eines Computers die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens zu berechnen. Beachte, dass auch der Taschenrechner die Werte nach einem geeigneten Verfahren berechnet. Ein solches Verfahren wird im Folgenden beschrieben.

Grundgedanke eines Verfahrens zur Berechnung von $\begin{align*} sin \alpha \end{align*}$

Wenn man den Winkel $\begin{align*} \alpha \end{align*}$ zwanzigmal halbiert, erhält man eine Wikelgröße $\begin{align*} \beta \end{align*}$ , die sehr klein ist.

Ist $\begin{align*} \alpha\ =\ 90\ Grad \end{align*}$ , so ist $\begin{align*} \beta\ =\ \frac{90\ Grad}{2^{20}}\ \ =\ 0,000085831...\ Grad \end{align*}$

Bei einer so kleinen Winkelgröße $\begin{align*} \beta \end{align*}$ kann der Bogen des Winkels im Einheitskreis gleich dem Sinus gesetzt werden. Der Bogen b kann berechnet werden:

$\begin{align*} b\ =\ \beta\ \cdot \ \frac{\pi}{180\ Grad} \end{align*}$ . Damit hat man angenähert $\begin{align*} \ sin\ \beta \end{align*}$ .

Jetzt wird das Halbieren wieder rückgängig gemacht, d.h. es wird zwanzig mal verdoppelt. Nun kann man den Sinus des verdoppelen Winkels jeweils berechnen, und zwar nach der Formel

$\begin{align*} sin\ (2\beta)\ =\ 2\ \cdot \ sin (\beta)\ \cdot \ \sqrt{1\ -\ (sin\ (\beta))^2} \end{align*}$

, sodass man schließlich den gesuchten Sinuswert erhält.

So nun die Aufgabe:

Überlege, wie sich die Genauigkeit ändert, wenn man das 20-malige Halbieren (Verdoppeln) durch 50-maliges Halbieren (Verdoppeln) ersetzt.

Muss man da nicht irgendwie b berechnen und dann wie beschrieben verdoppeln. Ich habs schonmal so ähnlich gemacht, aber mein Taschenrechner ist nicht genau genug. Wie ändert sich also die Genauigkeit???

08.05.2004, 01:40

Poff

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RE: Grundgedanke eines Verfahrens zur Berechnung von sin alpha
Nach dieser Beschreibung garnicht, da die Gleichheit zw. sin und Bogen
ja bei 20 maligem schon erreicht war.

Gleicher als gleich geht nicht, folglich ändert sich nichts mehr,
bzw es könnte sogar schlechter werden wenn der Rechner nicht
mit genügend stellen operiert.

smile

Edit:

Halt stopp, Kommando zurück das war ein Schuss in den Ofen,
da stand ja nicht dass die gleich sind, sondern nur dass man das
gleichsetzt ...

das ist schon was anderes *gg*
jaa so gehts zu später Stunde wenn man nicht genau liest was
da steht

08.05.2004, 23:45

Mathespezialschüler

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RE: Grundgedanke eines Verfahrens zur Berechnung von sin alpha
Ja, aber hast du denn dann ne Idee?? Ich komm irgendwie nicht drauf.

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Grundgedanke eines Verfahrens zur Berechnung von sin alpha

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