Grenzverhalten von f(x) an einer Asymptote |
| 15.03.2006, 12:25 | tesat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Grenzverhalten von f(x) an einer Asymptote ich habe ein allgemeines Problem, nämlich das Berechnen von Grenzwertverhalten an einer Asymptote. Mir geht es im Prinzip darum, mein fundiertes Halbwissen 
auf die Reihe zu bekommen. Immer, wenn ich etwas über Asymptoten höre, kommt mir die Polynomdivision in den Sinn, deren Ergebnis dann einen rationalen und einen echt-gebrochen-rationalen Teil liefert.- Welche Bedeutung hat welcher Teil? In diesem Zusammenhang kommt mir folgendes in den Sinn: lim x->+/-oo f(x) - a(x) = 0 - Was soll das sein...was genau ist a(x)? Weiterhin assoziiere ich mit Asymptoten irgendwie die h-Methode, mit der man einen Annäherungsprozess deutlich macht. Ich habe allerdings keine Ahnung, ob das überhaupt etwas damit zu tun hat und falls doch, wann die Methode zum Einsatz kommt. Mir ist klar, dass die h-Methode sonst in Punkte Differenzenquotient Anwendung findet. Ich hoffe, irgendjemand kann mir helfen, meine Gedanken zu ordnen. 
Gruß tesat |
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| 15.03.2006, 12:40 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Grenzverhalten von f(x) an einer Asymptote Also nehmen wir mal eine gebrochen rationale Funktion f(x) = g(x) / h(x). g und h sind irgendwelche Polynome. Durch Polynomdivision kommt man auf die Form: f(x) = a(x) + b(x)/h(x). Dabei hat der Teil b(x)/h(x) die Eigenschaft, daß er für x gegen unendlich nach 0 konvergiert. Ist der vordere Teil a(x) eine Konstante oder eine Gerade, dann nennt man dies Asymptote. |
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| 15.03.2006, 12:42 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo tesat, zwei Funktionen heißen genau dann asymptotisch gleich für , wenn gilt: . Das heißt, sie "wachsen im unendlichen gleich schnell". Gruß, therisen |
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| 15.03.2006, 13:06 | tesat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu klarsoweit: Ja, das leuchtet mir absolut ein. b(x) wird als Konstante nun einmal durch ein Polynom geteilt und konvergiert somit in jedem Fall gegen unendlich. Ich habe den rationalen und den echt-gebrochen-rationalen Teil von (x^3 - x^2 + 5)/(5*x-5) zusammen mit der Funktion selbst in ein Koordinatensystem einzeichnen lassen (Derive 6). Beide Teile verhalten sich asymptotisch zum Graph der Funktion f(x). Was ist denn nun die gesuchte Asymptote in lim x->+/-oo f(x) - a(x) = 0 Meiner Ansicht nach der rationale Teil, oder? - Wie ist diese Gleichung zu deuten, wenn sie auf der linken Seite als 0 interpretierbar ist? Zu therisen: Danke, aber das wusste ich so gerade noch. Es wäre nett, wenn du dich auf meine Hirngespinste beziehen könntest!
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| 15.03.2006, 13:19 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also bei gibt es keine Gerade als Asymptote. Der rationale Anteil ist ein Polynom 2. Grades. Wenn man will, kann man das auch als die "asymptotische Funktion" bezeichnen. Wie sieht die Funktion nach Polynomdivision aus? |
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| 15.03.2006, 13:20 | therisen | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du wirfst hier wild mit Funktionen um dich, ohne anzugeben, was welche Funktion darstellen soll. So kann ich dir nicht weiterhelfen. Die Fragestellung
ist unsinnig! Lies dir mal meinen Beitrag oben genau durch und formuliere sodann eine anständige Frage. Gruß, therisen |
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| 15.03.2006, 13:36 | tesat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Zu klarsoweit: Richtig, zu diesem Schluss bin ich auch gekommen. Ergebnis der Polynomdivision: 1/5*x^2 + 5/(5x-5) Beide Teile verhalten sich - separat betrachtet - asymptotisch zu f(x). Kann man den echt-rationalen Teil demnach auch als asymptotische Funktion bezeichnen? Zu therisen: Ich habe das verstanden. Mir geht es allerdings wirklich um diese Konkrete Frage. Vielleicht verstehst du es, wenn ich es in einen Kontext bringe: Gestern haben wir im Unterricht eine gebrochen-rationale Funktion betrachtet und auf asymptotisches Verhalten überprüft. Dabei kam mein Lehrer nach Durchführung der Polynomdivision auf einen rationalen Teil von "-x". Anschließend hat er berechnet: lim x->+/-oo f(x) - (-x) = 0 Die Gleichung hat auch gestimmt, allerdings wurde mir nicht klar, was das nun für eine Bedeutung hat. Im Prinzip bildet man doch die Differenz beider Funktionen und betrachtet deren Verhalten zueinander im Unendlichen, indem man x->oo laufen lässt. Dabei strebt die Differenz gegen 0, also die Funktionen nähern sich immer weiter aneinander an... edit:// Und wenn ich so darüber nachdenke, müsste es theoretisch auch egal sein, welchen Teil man für a(x) einsetzt, denn beide Teile verhalten sich asymptotisch zu f(x), was nichts anderes heißt, als dass der Abstand in der Unendlichkeit gegen 0 strebt, oder? edit2:// Irgendwie habe ich gerade einen Prozess der Selbstaufklärung durchlebt...
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| 15.03.2006, 13:53 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein klares jein! Der vordere Teil kann mit a(x) bezeichnet werden, also a(x) = (1/5)*x². Und nur dieser Teil verhält sich asymptotisch zu f(x), denn es ist . Der hintere Teil, also das 5/(5x-5) verhält sich nicht asymptotisch zu f(x). Also ja zur Frage: "Kann man den echt-rationalen Teil demnach auch als asymptotische Funktion bezeichnen?" |
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| 15.03.2006, 14:02 | tesat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich meinte eigentlich den echt-gebrochen-rationalen Teil, da habe ich ein kleines Wörtchen vergessen. Diese Frage hattest du nämlich schon beantwortet. Aber ich verstehe schon: Der gebrochen-rationale Teil kann nicht als asymptotische Funktion bezeichnet werden. Ich denke, diesbezüglich ist mir nun einiges klar geworden. Spreche ich mal das Thema Polstellen an. Wenn ich eine oder mehr Definitionslücken durch Berechnung der "Nennerpolynomnullstellen" bestimmt habe, wie analysiere ich das Verhalten der Funktion f(x) an der Asymptote, die ja hier senkrecht zur Abszissenachse steht. Wendet man dann diese h-Methodik an, von der ich sprach, oder wie macht man das? |
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| 15.03.2006, 14:17 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Bemerkung verunsichert mich etwas und mir ist nicht so ganz klar, was du damit meinst, sprich: was du unter "beide Teile" verstehst. Bezüglich Polstellen gibt hier schon etliches im Forum. Deswegen nur kurz ein paar Bemerkungen: Zunächst mußt du schauen, ob die Nullstellen vom Nenner auch Nullstellen vom Zähler sind. Wenn ja, kann man entsprechend faktorisieren und den Linearfaktor (x - Nullstelle) rauskürzen. Dies solange, bis entweder Zähler oder Nenner (x - Nullstelle) nicht mehr als Linearfaktor haben. Bleibt die Nullstelle im Nenner, handelt es sich tatsächlich um eine Polstelle. Ist die Nullstelle im Nenner verschwunden, ist dort eine behebbare Definitionslücke. Zur h-Methode im Zusammenhang mit Polstellen kann ich nichts sagen. Ich kenne die nur im Zusammenhang mit der Ableitung. Kannst du dafür ein Beispiel geben? |
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| 15.03.2006, 16:58 | tesat | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, inzwischen habe ich ein adäquates Beispiel gefunden: Um das Verhalten des Graphen f(x) an der Polstelle zu prüfen, macht man es folgendermaßen: x_0 sei eine Polstelle von f(x) lim h -> 0 f(x_0 + h) für das Verhalten von rechts nach links. lim h -> 0 f(x_0 - h) für das Verhalten von links nach rechts. Nachdem man x_0 eingesetzt hat, bringt man die Funktion in eine entsprechende Form, um das Grenzverhalten der einzelnen Summanden zu überprüfen. Als Ergebnis der Untersuchung kann logischerweise nur ein Verhalten gegen -/+ oo herauskommen. |
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| 15.03.2006, 19:38 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ok, das kann man so machen. Man muß dabei noch h>0 beachten. |
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