Monotonieverhalten

15.03.2006, 14:31

Monotonieverhalten

Hui
Gibt es noch eine andere Methode das Monotonieverhalten einer funktion zu bestimmen, ausgenommen von der Ableitung und Wertetabelle? kennt einer evon euch eine methode?
ich brauch das für die klausur.
danke

15.03.2006, 14:35

JochenX

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Wertetabelle ist nie eine gute Methode für unendliche Definitionsbereiche!
Daraus bekommst du höchstens eine VERMUTUNG, dass es monoton ist.
Das geht natürlich, wenn du Monotonie beweisen willst!

Der Weg über die Ableitung ist schon gut; alternativ x1>x0 annehmen und durch Abschätzung f(x1)</>f(x0) zeigen
für x1 kann man dann auch x0+h (h>0) annehmen und einsetzen...

15.03.2006, 14:37

phi

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Neben den schon genannten zwei Definitionen steht bei Wikipedia als...

Weitere Eigenschaften

Für monotone Funktionen gilt:

* Sie haben überall in ihrem Definitionsbereich einen linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert.
* Sie können nur Sprünge als Unstetigkeiten haben.
* Die Anzahl der Sprünge in ihrem Definitionsbereich ist abzählbar (aber i.A. nicht notwendigerweise endlich).
* Sie sind fast überall differenzierbar.
* Eine im Intervall [a,b] definierte monotone Funktion ist Riemann-integrierbar.

mfg, phi

15.03.2006, 14:43

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danke für die antworten:

1) was bedeutet differenzierbar?? vielleicht ein anderer begriff für stetigkeit`?

2) kannst du mir eine homepage oder sonstiges geben,Jochen, wo das mit dem x1 x0+h beigebracht wird. das ist der weg. mein "zweiter" mathelehrer hat das kurz angesprochen, da wir das noch nie im unterricht mit dem "ersten" mathelehrer besprochen haben und ich ihn das deswegen gefragt habe.
also wo kann ich das üben?

15.03.2006, 14:47

phi

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differenzierbar heißt im Algemeinen ableitbar.

15.03.2006, 14:55

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gibt es auch funktionen, die net ableitbar,also differenzierbar sind? kann man tatsächlich einige funktionen net ableiten oder wie ist das jetzt gemeint? das würde mich mal interessieren

15.03.2006, 15:05

phi

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Ja, z.B. f(x) = 1 falls x rational ist, f(x)=0 sonst.

Da die rationalen und irrationalen dicht in IR liegen, oszilliert die Funktion "unendlich schnell" zwischen 0 und 1 hin & her. Eine "Steigung" zu bestimmen also unmöglich.

mfg, phi

15.03.2006, 15:08

JochenX

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ja natürlich gibt es solche Funktionen, das ist aber ein anderes Thema und ich glaube, hier gehört es nicht hin
z.B. die einfache Betragsfunktion y=|x| für x=0; oder jede unstetige Funktion....

ich halte die von Phi genannten Eigenschaften für schön, aber dir eh nicht nützlich, da nur notwendig, nicht hinreichend

ich kenne da keine Seite, PG, aber versuchs doch an einfachen Beispielen selbst einmal.
z.B. y=x^3 wäre ein erster Anfang.....

Ableitung >=/=< 0 zeigen sollte eh dein erster Weg sein!

15.03.2006, 15:28

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sagen wir mal, dass wir folgende funktion auf monotonieverhalten überprüfen müssten:

$\begin{eqnarray*} f(x)=5x^3-x^2+2x \end{eqnarray*}$

wie kann ich es nun machen, ohne wertetabelle und ableitung.

15.03.2006, 16:20

JochenX

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setz mal ein (x+h) für x; wobei ich immer noch nicht weiß, was dagegen spricht, die Ableitung (f'=15x^2-2x+2) zu bilden....

15.03.2006, 16:50

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Also wir sollen keine Ableitung benutzen, sondern eine andere Methode.

meinst du das so:

$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=5(x_0+h)^3-(x_0+h)^2+2(x_0+h) \end{eqnarray*}$

15.03.2006, 17:19

JochenX

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richtig, jetzt rechne das mal aus (potenzen auflösen)

am Ende muss da .... > f(x0) rauskommen

15.03.2006, 17:44

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$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=5(x_0+h)^3-(x_0+h)^2+2(x_0+h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=5(x_0^2+2x_0+h^2) (x_0+h)-x_0^2-2x_0-h^2+2x_0+2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=5x_0^3+5x_0^2h+10x_0^2+10x_0h+5x_0h^2+5h^3-x_0^2-2x_0-h^2+2x_0+2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=5x_0^3+5x_0^2h+9x_0^2+10x_0h+5x_0h^2+5h^3-h^2+2h \end{eqnarray*}$

und nun`?

15.03.2006, 19:09

JochenX

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Zitat:

Original von PG
$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=5(x_0+h)^3-(x_0+h)^2+2(x_0+h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=5(x_0^2+2x_0+h^2) (x_0+h)-x_0^2-2x_0-h^2+2x_0+2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=5x_0^3+5x_0^2h+10x_0^2+10x_0h+5x_0h^2+5h^3-x_0^2-2x_0-h^2+2x_0+2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_0+h)=5x_0^3+5x_0^2h+9x_0^2+10x_0h+5x_0h^2+5h^3-h^2+2h \end{eqnarray*}$

und nun`?

ist nicht ganz richtig:

$\begin{eqnarray*} (x+h)^3=x^3+3x^2h+3xh^2+h^3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (x+h)^2=x^2+2xh+h^2 \end{eqnarray*}$

daraus kannst du dann nachher $\begin{eqnarray*} 5x^3-x^2+2x \end{eqnarray*}$ (warum wohl?) abspalten, was überbleibt muss >0 sein (für alle h>0).
Dann ist das gesamt größer als.....

15.03.2006, 19:23

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wäre dann
$\begin{eqnarray*} (x+h)^4=x^4+4x^2h+4xh^2+4x^2h^2+h^4 \end{eqnarray*}$

??
auf jedenfall versteh ich trotzdem nicht, was ich falsch gemacht habe, weil ich das nochmal überprüft habe. kannst du mir das bitte rot kennzeichnen?

15.03.2006, 19:58

JochenX

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nö, da gibts doch das Pascalsche Dreieck........
$\begin{eqnarray*} (a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4 \end{eqnarray*}$ usf.

im Latex rot markieren? ne das geht nicht....
aber du machst beide male das Binom falsch!
$\begin{eqnarray*} (x_0+h)^2=x_0^2+2x_0h+h^2 \not= x_0^2+2x_0+h^2 \end{eqnarray*}$ , da schon mal direkt ZWEImal in der ersten Zeile.

15.03.2006, 20:21

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ACHSO JETZT habe ich mein fehler entdeckt. ich habe das binom falsch aufgelöst! und das mit dem pascalsches dreieick wusste ich auch net, danke.

so hier:
$\begin{eqnarray*} f(x+h)=5(x+h)^3-(x+h)^2+2(x+h) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x+h)=5(x^2+2xh+h^2) (x+h)-x^2-2xh-h^2+2x+2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x+h)=5x^3+5x^2h+10x^2h+10xh^2+5xh^2+5h^3-x^2-2xh-h^2+2x+2h \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x+h)=5x^3+5h^3+15x^2h+15xh^2-x^2-h^2-2xh+2h+2x \end{eqnarray*}$

jetzt müsste es richtig seien.

15.03.2006, 20:28

JochenX

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ja passt, wie gesagt, schau dir das mit dem pascalschen dreieck mal an, damit löst du solche potenzen schneller auf (stichwort: binomialkoeffizient).

wie schon gesagt: was gelten soll ist ja: f(x+h)>f(x)
berechne mal f(x+h)-f(x), dass müsstest du als >0 beweisen (können).

15.03.2006, 20:36

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also
$\begin{eqnarray*} f(x+h)-f(x)>0 \end{eqnarray*}$
ist das x bei beiden das gleiche??? oder das eine x anders als das andere?
wenn gleich, dann:

$\begin{eqnarray*} f(x+h)=5x^3+5h^3+15x^2h+15xh^2-x^2-h^2-2xh+2h+2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=5x^3-x^2+2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (5x^3+5h^3+15x^2h+15xh^2-x^2-h^2-2xh+2h+2x)-(5x^3-x^2+2x)>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5x^3+5h^3+15x^2h+15xh^2-x^2-h^2-2xh+2h+2x-5x^3+x^2-2x>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5h^3+15x^2h+15xh^2-h^2-2xh+2h>0 \end{eqnarray*}$

wie gehts weiter?

15.03.2006, 21:30

GastSephiroth

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h ausklammern und dann durch h teilen (erlaubt weil h gegen null geht und nicht null ist)
dann deinen Grenzwert h gegen null laufen lassen und du wirst sehen was passiert

16.03.2006, 03:32

JochenX

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Zitat:

dann deinen Grenzwert h gegen null laufen lassen und du wirst sehen was passiert

das ist Unsinn, keiner hat was von h->0 gesagt

durch h>0 teilen ist gut, den Rest solltest du in Binome verteilen können (?)

16.03.2006, 18:19

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ich weiss jetzt nicht, wie du das meinst.
warum läuft h gegen Null? ist das immer so bei dieser art der Bestimmung von der Monotonie?

16.03.2006, 18:44

JochenX

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Zitat:

Original von LOED

Zitat:

dann deinen Grenzwert h gegen null laufen lassen und du wirst sehen was passiert

das ist Unsinn, keiner hat was von h->0 gesagt

genau lesen!

wie gesagt, musst du zeigen, dass deine Differenz für alle x und alle h>0 größer 0 ist.
Wie du das mit elementaren Schulmitteln zeigen kannst, weiß ich grad auch nicht......

16.03.2006, 19:07

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wenn ich das zeige, woher weiss ich, dass es dann monoton steigend bzw. fallend ist?
soll ich jetzt einfach einen wert für h>0 nehmen, z.b.:
h=1??

16.03.2006, 19:12

JochenX

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du berechest doch f(x+h)-f(x) [h>0]
das ist die y-Wertdifferenz zweier Punkte, wobei der eine weiter rechts liegt

es gilt: ist diese Differenz für alle x (und alle h>0)
>0, dann ist deine Funktion streng monoton steigend (>= nur monoton)
=, dann ist deine Funktion konstant
<0, dann ist deine Funktion streng monoton fallend (<= nur monoton)

Gruß Jochen

(PS: hier müsstest du zeigen, dass die Differenenz ">0" ist, wie du das mit Schulmitteln machst, weiß ich nicht)

16.03.2006, 21:17

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machen wir mal hier weiter:

$\begin{eqnarray*} 5h^3+15x^2h+15xh^2-h^2-2xh+2h>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5h^2+15x^2+15xh-h-2x+2>0 \end{eqnarray*}$

habs jetzt ein bisschen vereinfacht, aber wie weiter? ich verstehe nicht, was du mit schulmitteln meinst verwirrt

edit: die regel für monotonie kenn ich schon, nur wie gehts genau weiter?

17.03.2006, 01:53

JochenX

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"mit elementaren Schulmitteln" heißt mit Methoden, die du auch kennen würdest.
Ich könnte mir vorstellen, das ganze als 2dimensionale Funktion von (x und h) zu betrachten und das Minimum zu berechnen !?

17.03.2006, 15:51

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ja aber wie löse ich das erstens nach h auf und zweitens dürfen wir net das y vernachlässigen.
wie sollen wir auf das minimum kommen, wenn wir keine ableitung dürfen? da können wir doch nur vermuten.

17.03.2006, 15:53

JochenX

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wie schon gesagt haben wir hier eh 2 Unbekannte (und mit Schulmitteln fällt mir nix ein, aber das muss ja auch nicht immer gehen)

Wichtig ist: du verstehst das Verfahren (und weißt, was du am Ende zeigen müsstest), dann kannst du es (falls gefordert) bei einfacheren Aufgaben anwenden.
Hier: hilft die Ableitungsmethode doch wunderbar!

17.03.2006, 15:57

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das problem ist, wir dürfen hier keine Ableitung benutzen(verboten=0 Punkte= Note 6)

dann nehmen wir mal eine einfachere Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x+h)=(x+h)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x+h)=x^2+2xh+h^2 \end{eqnarray*}$

jetzt einfach gleichsetzen?

17.03.2006, 16:09

JochenX

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naja, y=x^2 ist bekanntlich nicht überall gleich monoton; nehmen wir also die Aufgabe:
zeigen Sie, dass f(x)=x^2 für x>0 monoton steigt.

Dann bestimmst du f(x+h) [mit x>0 und h>0] und die Differenz f(x+h)-f(x)
Diese Differenz ist 2xh+h^2 => das ist echtgrößer 0 (warum?)

=> "gehst du nach rechts (x nach x+h), dann gehst du auch nach oben (und zwar um f(x+h)-f(x))"
=> die kurve steigt monoton

17.03.2006, 17:05

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achso ok danke

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