Polynomdivision mit negativen Exponenten

15.03.2006, 17:38

Barium

Polynomdivision mit negativen Exponenten

Mir ist heute was aufgefallen, was ich im Unterricht meinem Lehrer erzählt hab. Er hat allerdings auch keine Antwort auf meine Frage, daher stelle ich sie hier:

Das Thema war, die Steigung an einer bestimmten Stelle mit Hilfe des Differentialquotienten zu ermitteln; die Funktion lautete $\begin{eqnarray*} f(x) = 2x^{-1} - \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
Wieso findet eine Polynomdivision, die im Zähler Polynome mit negativen Exponenten hat, kein Ende? Man erhält als Ergebnis einer solchen Polynomdivison Polynome, deren Exponenten immer weiter ins Negative hineingehen.

Gruß,
Barium

15.03.2006, 17:43

JochenX

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Polynome haben keine negativen Exponenten, also kann man mit sowas auch keine Polynomdivision machen.

Da musst du schon genauer definieren, was du genau tun willst

15.03.2006, 17:58

Barium

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Falscher Begriff? Big Laugh

Ich meinte nicht Polynome, sondern Potenzfunktionen
(Ich bin sicher, dass du weißt, was ich meine, willst mich aber ärgern Augenzwinkern

).

Beispiele zeigen immer alles am besten auf:

$\begin{eqnarray*} (2x^{-1} - \frac{1}{2}) : (x-4) = ? \end{eqnarray*}$

Bitte um Lösung!

15.03.2006, 18:03

JochenX

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ich habs aber prinzipiell schon gesagt:
du musst halt eine Abbruchbedingung definieren!
Weil das ist kein mir bekanntest Verfahren, also weiß ich nicht, wann ich aufhören muss....

bei POLYNOMDIVISIONEN isses klar: sobald Restgrad < Dividendengrad (oder Divisor?)
das ist hier aber von Anfang an Augenzwinkern

15.03.2006, 18:10

Barium

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Wie wird die "Lösung" also formuliert? verwirrt

//edit: ohne Abbruchbedingung, nur allgemein so wie die Polynomdivision jetzt oben im Beitrag steht.

15.03.2006, 18:17

JochenX

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Der "Grad" des Rest"polynoms" wird immer kleiner. Das sollte dir bei einer normalen PD klar sein.
In diesem Falle hörst du aber nie auf, darum wird der "Grad" beliebig klein.

Ich würde ganz frei sagen, dieses Verfahren macht so nicht viel Sinn.

15.03.2006, 18:20

Barium

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Die allgemeine Erklärung mit dem Kleinerwerden des Grades bei Polynomdivisionen find ich gut! Danke. Wink

15.03.2006, 18:33

Leopold

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Eine Polynomdivision geht üblicherweise nicht auf. Daß sie in Spezialfällen aufgeht, zum Beispiel wenn man einen Linearfaktor mit einer Nullstelle abspaltet, ist eine Besonderheit und keineswegs selbstverständlich. Daß es so ist (und bei einem guten Lehrer: warum es so ist), wird im Unterricht besprochen.
Hier hast du einen rationalen Ausdruck, aber kein Polynom. Also kannst du auch keine Polynomdivision durchführen. Darauf hat LOED schon hingewiesen. Natürlich kannst du den rationalen Ausdruck auf die Form "Polynom durch Polynom" bringen und dann für einzelne Glieder Polynomdivision durchzuführen , mit anderen Worten: zu kürzen, versuchen.
Deine Frage ist so ähnlich, als würde jemand sagen: 6 durch 2 kann man rechnen, und es geht auf. Warum kann man eigentlich 2 durch 6 nicht auch rechnen, so daß es aufgeht? Das geht eben nicht. Was du dennoch machen kannst, ist, eine Faktorzerlegung (entspricht einer Polynomdivision, die aufgeht) suchen und kürzen:

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{6} = \frac{2}{2 \cdot 3} = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

Den Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ kannst du dann aber nicht mehr weiter vereinfachen. Du kannst ihn natürlich als Dezimalbruch schreiben, aber das ist ja auch eine unendliche Darstellung:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} = 0{,}333333333333333333333333333333333 \ldots \end{eqnarray*}$

Und bei deiner Aufgabe analog:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{2}}{x - 4} = \frac{\frac{4 - x}{2x}}{x - 4} = \frac{4-x}{2x (x - 4)} = \frac{-(x - 4)}{2x (x - 4)} = - \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$

Und diesen Bruch kannst du nicht weiter vereinfachen, es sei denn, du beginnst so einen unendlichen Divisionsprozeß wie in deinem Eingangsbeitrag beschrieben. Dann wäre aber zu fragen, was das bedeuten soll. Das führt nämlich auf sogenannte unendliche Reihen und ist ein eigenes Thema.
So eine unendliche Reihe ist übrigens auch der obige Dezimalbruch. Denn ausgeschrieben heißt das:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} = 3 \cdot 10^{-1} + 3 \cdot 10^{-2} + 3 \cdot 10^{-3} + 3 \cdot 10^{-4} + 3 \cdot 10^{-5} + \ldots \end{eqnarray*}$

Und jetzt denke dir einfach statt $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ die Variable $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Dann siehst du die Ähnlichkeit mit deinem Problem.

16.03.2006, 17:57

Barium

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Danke, Leopold!

Zitat:

Daß es so ist (und bei einem guten Lehrer: warum es so ist), wird im Unterricht besprochen.

Wir haben zweifellos einen qualifizierten Lehrer.
Auf die Frage "Warum geht die Polynomdivision auf, wenn man einen Linearfaktor mit einer Nullstelle abspaltet?" antwortet er, das würden wir später erfahren. Da ich in der 12 den Mathe-LK wähle und mit großer Wahrscheinlichkeit ihn als Lehrer bekomme, werde ich ja sehen, ob er es wirklich beweist.

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