vektorrechnung

15.03.2006, 19:39

Sefika

vektorrechnung

ich habe ein großes problem! ich kann keine gleichungen auflösen!!!

also die aufgabe lautet so:

durch die parameterdarstellungen bzw. gleichungen sind geraden g, h gegeben. untersuche ihre gegenseitige lage. berechne gegebenfalls schnittpunkte.

$\begin{eqnarray*} g: \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x}= \begin{pmatrix} 17 \\ 15 \\ 6 \end{pmatrix} +\beta\\ \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

1.schritt: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} =k \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

K ( 7| -4| 3/2) --> g\neq h also g ist nicht parallel

2.schritt: gleichsetzen:

I 7 \lambda -\beta=17
II -1 \lambda +4\beta=13
III 3\lambda-2 \beta-1

aber ich kann die gleichungen nicht auflösen. ich habe vergessen wie es geht. und ich habe kein bock jetzt alles nach lambda umzustellen. weil das zu lange dauert. wenn ich das aber jetzt so ausrechne: krieg ich zwei verschiedene ergebnisse unglücklich

. ich kanns nicht!!!

15.03.2006, 22:43

mYthos

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Hi!

Du kannst es schon, nur hast du in der ersten Gleichung einen Fehler, woher kommen die 17? Dort muss 12 stehen.

Nach Elimination von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ erhältst du 2 Gleichungen für $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , die aber dennoch nicht das gleiche $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ergeben. Das ist hier vollkommen normal und kein Fehler, denn daraus kannst du schließen, dass es keinen Schnittpunkt gibt und die Geraden wie zueinander liegen?

mY+

15.03.2006, 23:36

Sefika

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ich hab mich vertippt!! keine ahnung wie ich auf 12 komme, es sollte 17 sein!!! ich habs jetzt verbessert.

dann sind sie windschief?

aber für lambda kommt 3 raus und für beta 4. wenn ich das so ausrechne krieg ich das nicht raus. aber wenn ich jetzt die eine gleichung nach lambda umforme und einsetzungsverfahren benutze dann gehts!.

16.03.2006, 00:23

mYthos

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OK, mit der neuen Angabe schaut's anders aus:

$\begin{eqnarray*} 7 \lambda - \beta = 17 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - \lambda + 4\beta = 13 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3 \lambda - 2 \beta = 1 \end{eqnarray*}$
-----------------------------------------

Jetzt nimm zunächst 2 Gleichungen (die dritte lass' mal außen vor) und eliminiere z.B. $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ , es kommt $\begin{eqnarray*} \lambda = 3 \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} \beta = 4 \end{eqnarray*}$ . Wenn du dies nun in die dritte Gleichung einsetzt, kann folgendes passieren:

a) Gleichheit (Identität, wahre Aussage) -> Schnittpunkt existiert
b) Ungleichheit (falsche Aussage) -> kein Schnittpunkt, die Geraden sind windschief

In deinem Fall resultiert aus der dritten Gleichung eine Identität, die Geraden haben einen Schnittpunkt. Rechne dies nochmal nach!

mY+

16.03.2006, 00:54

Sefika

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ok danke schön ich habe meinen fehler entdeckt!!! habe bei der 3. gleichung nach dem gleichzeichen - 1 stehen es mus aber + sein. deshalb habe ich -35 auch falsch. weil es muss -33 sein!!!

16.03.2006, 01:14

mYthos

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Na wunderbar, jetzt hat du es hoffentlich richtig! Die Geraden schneiden also einander. Weisst du auch, wie man (recht schnell) den Schnittpunkt bekommt?

mY+

16.03.2006, 16:15

Sefika

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man setzt 3 und 4 in die gleichung ein. dann kriegt man 1=1 (ist das der schnittpunkt? kann nicht sein oder?)

dann setzt man jetzt die 3 und 4 in die ersten gleichungen ein man kriegt: (21|- 1|14)=(21|- 1|14)

S(21|- 1|14), stimmt das?

was ist dann 1=1? schneiden sie sich bei 1=1? oh man bin verwirrt!!! ich schreibe morgen die arbeeeeeeit.

hmm ich habe noch andere fragen.

1:kann man die punktprobe nur ausrechnen wenn zum bsp. v||x sind? oder geht das auch wenn sie nicht parallel sind?

2.wie müssen x und y gewählt werden, damit der punkt P (x|y|0) auf der geraden durch A und B liegt?

A(4|2|3); B (7|5|4)

ich bin so vorgegangen: habe AB ausgerechnet, AB(3|3|1) rausbekommen. dann habe ich überlegt, ob ich daraus ein parametergleichung machen soll.... aber das geht ja dann nicht. dann müsste ich ja alles nach dem parameter auflösen und hätte kein ergebnis für x und y.

da muss -5/-7 rauskommen. ich kommt nicht dadrauf unglücklich

, weil ich keine ahnung habe!!!

16.03.2006, 22:12

Sefika

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kann mir denn keiner helfen???

und die eine aufgabe habe ich schon raus, also das mit -5, -7.

16.03.2006, 22:15

mYthos

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RE: vektorrechnung
1 = 1 o.ä. sind wahre Aussagen, die sich ergeben, wenn du die Lösungen wieder zurück in die Gleichungen einsetzt, es ist quasi die Probe.

Den Schnittpunkt erhältst du, indem du entweder

$\begin{eqnarray*} \lambda = 3 \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 5 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 7 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

oder

$\begin{eqnarray*} \beta = 4 \end{eqnarray*}$ in

$\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} 17 \\ 15 \\ 6 \end{pmatrix} +\beta \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

einsetzt. Beide Male ergibt sich $\begin{eqnarray*} S(21;-1;14) \end{eqnarray*}$ .

Zu 2.)

AB auszurechnen war ja schon richtig, das ist der Richtungsvektor der Geraden. Und auch die Parametergleichung daraus zu erstellen ist der weitere richtige Weg. Dazu kannst du A oder B als Anfangspunkt nehmen:

$\begin{eqnarray*} \vec{x}= \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

So, jetzt weisst du, dass die dritte Koordinate des ansonsten unbekannten Punktes P gleich 0 ist.

Diese ( $\begin{eqnarray*} x_3 = 0 \end{eqnarray*}$ ) setzt du in die dritte Zeile der Parametergleichung ein und errechnest daraus $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Das eben ermittelte $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ kann nun dazu dienen, aus der ersten und zweiten Zeile die fehlende x- bzw. y - Koordinate auszurechnen.

Vollende dies mal und schreibe uns die Lösung!

mY+

16.03.2006, 22:29

Sefika

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix} -\begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 3 \\ 3\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x= & 4 +& 3\lambda \\y= & 2+ & 3\lambda \\ 0= & 3+ & \lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda =-3 \end{eqnarray*}$

einsetzten:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x= & 4 & -9 \\ y= & 2 & -9 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

1:kann man die punktprobe nur ausrechnen wenn zum bsp. v||x sind? oder geht das auch wenn sie nicht parallel sind?

16.03.2006, 22:39

mYthos

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Zitat:

Original von Sefika
...
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} x= & 4 & -9 \\ y= & 2 & -9 \\ \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$
...

Und noch zu Ende rechnen bitte: x = -5, y = -7 -> P(-5;-7;0).

Zitat:

..
1:kann man die punktprobe nur ausrechnen wenn zum bsp. v||x sind? oder geht das auch wenn sie nicht parallel sind?

Was meinst du mit v? Zu wem ist v parallel?

mY+

16.03.2006, 22:59

Sefika

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$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ -8\end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

h: $\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} +µ \begin{pmatrix} 1 \\-3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

für k haben wir ja dann -2 raus. wenn wir es ausrechnen. -->es ist dann. l. a., --> g||h

danach können wir ja punktprobe machen.

wäre jetzt k nicht erfüllt, könnten wir dann auch punktprobe machen?

16.03.2006, 23:38

mYthos

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Zitat:

Original von Sefika
$\begin{eqnarray*} g: \vec{x} =\begin{pmatrix} 1 \\ 8 \\ -8\end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h: \vec{x} =\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 0\end{pmatrix} +\mu \begin{pmatrix} 1 \\-3 \\ 4 \end{pmatrix} \ \end{eqnarray*}$

für k haben wir ja dann -2 raus. wenn wir es ausrechnen. -->es ist dann. l. a., --> g||h

danach können wir ja punktprobe machen.

wäre jetzt k nicht erfüllt, könnten wir dann auch punktprobe machen?

Was k sein soll, weiss ich zwar immer noch nicht, aber hier sind die Richtungsvektoren parallel, weil deren Koordinaten proportional sind .. ach ja, jetzt bin ich doch ein Hellseher, k ist der Proportionalitätsfaktor smile

.

Dabei kann es zwei Fälle geben: Die Geraden sind identisch, dann gibt es unendlich viele Schnittpunkte (bei der "Punktprobe" sind die zugehörigen Gleichungen abhängig) oder die Geraden haben keinen Punkt gemeinsam, dann sieht die Punktprobe genau so aus, als wären die Geraden windschief.

Ist "k nicht erfüllt", dann machst du ja wie im vorigen Beispiel ebenfalls die Punktprobe, die Geraden sind nicht parallel, haben daher entweder einen Schnittpunkt oder sind windschief. Die Punktprobe kannst/sollst du daher immer machen.

Übrigens: Der LaTex-Code für $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist \mu

my+

18.03.2006, 18:53

Sefika

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danke schön mYthos smile

hast mir viiiiieeel geholfen.

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