[WS] Potenzen

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08.05.2004, 12:11	cm62	Auf diesen Beitrag antworten »
[WS] Potenzen Workshop – Mathematik – Potenzen 1. Potenz 1.1 Was ist eine Potenz? 1.2 Potenzen mit positivem Exponenten 1.3 Potenzen mit negativem Exponenten 2. Zehnerpotenzen 2.1 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten 2.2 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten 3. Potenzen mit gleicher Basis 3.1 Multiplikation 3.2 Division 4. Potenzen mit gleichem Exponenten 4.1 Multiplikation 4.2 Division 5. Beispiele 5.1 Beispiele zu 1. 5.2 Beispiele zu 2. 5.3 Beispiele zu 3. 5.4 Beispiele zu 4. 6. Wurzeln 6.1 Potenzen und Radizieren 6.2 Potenzen und Radizieren 7. Beispiele zu 6. 7.1 Wurzeln 7.2 Potenzieren/Radizieren 7.3 Wurzeln 8. Potenzen mit rationalen Exponenten 8.1 Rationale Exponenten 8.2 Definition 8.3 Potenzgesetze für rationale Zahlen 9. Beispiele zu 8. und 9. 9.1 Beispiele zu 8. 9.2 Beispiele zu 9. 10. Zusammenfassung 10.1 Zehnerpotenzen / Potenzen 10.2 Potenzgesetze im Bereich Z 10.3 Potenzgesetze im Bereich R. 10.4 Wurzeln 10.5 Potenzieren von Potenzen
08.05.2004, 12:11	cm62	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Potenz 1. Potenz 1.1 Was ist eine Potenz? Es ist eine Zahl der Gestalt $\begin{eqnarray} a^n \end{eqnarray}$ . Die Zahl a ist die Basis und n wird als Exponent bezeichnet. $\begin{eqnarray} \underbrace{a \cdot a \cdot .... \cdot a \cdot a}_{n-mal} = a^n \end{eqnarray}$ 1.2 Potenzen mit positivem Exponenten $\begin{eqnarray} a^n \ \Rightarrow \ a^2 = a \cdot a \end{eqnarray}$ 1.3 Potenzen mit negativem Exponenten $\begin{eqnarray} \frac{1}{a^n} := a^{-n} \ , \ n \in \mathbb R \end{eqnarray}$ Man sieht also, dass sich das Vorzeichen eines Exponenten umdreht, wenn man die Potenz als Bruch darstellen will bzw. von der Bruchdarstellung in die "normale" Darstellung wechselt. Beispiele: $\begin{eqnarray} a^{-2} = \frac{1}{a^2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^2 = \frac{1}{a^{-2}} \end{eqnarray}$ Dieser Regel und dem Gedanken eines negativen Exponenten kommt keinerlei Vorstellungsgehalt zu, ist alles reine Definition. Eine Begründung für dieses Definiton findet man beim Punkt 3.
08.05.2004, 12:12	cm62	Auf diesen Beitrag antworten »
2. Zehnerpotenzen 2. Zehnerpotenzen 2.1 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten $\begin{eqnarray} \begin{array}{\|c\|r\|c\|} \hline Potenzschreibweise & Dezimalschreibweise & Beschreibung \\ \hline \hline 10^8 & 100.000.000 & \text{Eine Eins mit 8 Nullen} \\ \hline 10^7 & 10.000.000 & \text{Eine Eins mit 7 Nullen} \\ \hline 10^1 & 10& \text{Eine Eins mit 1 Null} \\ \hline 10^0 & 1 & \text{Eine Eins mit 0 Nullen}\\ \hline \end{array} \end{eqnarray}$ 2.2 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten $\begin{eqnarray} \begin{array}{\|c\|r\|c\|} \hline Potenzschreibweise & Dezimalschreibweise & Beschreibung \\ \hline \hline 10^{-1} & 0{,}1 & \text{Eine Eins an der 1. Nachkommastelle} \\ \hline 10^{-2} & 0{,}01 & \text{Eine Eins an der 2. Nachkommastelle} \\ \hline \end{array} \end{eqnarray}$ Eine Erklärung für diese Schreibweise bietet die Regel $\begin{eqnarray} a^{-n} = \frac{1}{a^n} \end{eqnarray}$
08.05.2004, 12:12	cm62	Auf diesen Beitrag antworten »
3. Potenzen mit gleicher Basis 3. Potenzen mit gleicher Basis 3.1 Multiplikation $\begin{eqnarray} a^p \cdot a^q = \underbrace{(a \cdot ... \cdot a)}_{p-mal} \cdot \underbrace{(a \cdot ... \cdot a)}_{q-mal} = \underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{(p+q)-mal} = a^{p+q} \end{eqnarray}$ Beispiel zu 3.1 $\begin{eqnarray} 6^3 \cdot 6^{-4} = 6^{3+(-4)} = 6^{-1} = \frac{1}{6} \end{eqnarray}$ 3.2 Division $\begin{eqnarray} a \neq 0 \, ; \ p , \, q > 0 \, ; \ p > q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{a^p}{a^q} = \frac{\overbrace{a \cdot ... \cdot a}^{p-mal}}{\underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{q-mal}} \ \rightarrow \ \text{Kürzen} \ \rightarrow \ \frac{\overbrace{a \cdot ... \cdot a}^{(p-q)-mal}}{1} = a^{p-q} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a \neq 0 \, ; \ p , \, q > 0 \, ; \ q > p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{a^p}{a^q} = \frac{\overbrace{a \cdot ... \cdot a}^{p-mal}}{\underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{q-mal}} \ \rightarrow \ \text{Kürzen} \ \rightarrow \ \frac{1}{\underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{(q-p)-mal}} = \frac{1}{a^{q-p}} := a^{-(q-p)} = a^{p-q} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} p - q < 0 \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} p < q \end{eqnarray}$ folgt. Diesen letzten Schritt bei der Umformung hat man definiert (erkennbar am := ) um eine einheitliche Regel und Schreibweise für Brüche von Potenzen mit gleicher Basis zu finden, die wie folgt lautet: $\begin{eqnarray} \frac{a^p}{a^q} = a^{p-q} \end{eqnarray}$ Beispiel zu 3.2 $\begin{eqnarray} \frac{6^3}{6^{-4}} = 6^{3-(-4)} = 6^7 = 25200 \end{eqnarray}$
08.05.2004, 12:12	cm62	Auf diesen Beitrag antworten »
4. Potenzen mit gleichem Exponenten 4. Potenzen mit gleichem Exponenten 4.1 Multiplikation $\begin{eqnarray} a^p \cdot b^p = \underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{p-mal} \cdot \underbrace{b \cdot ... \cdot b}_{p-mal} = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot ... \cdot (ab) \cdot (ab)}_{p-mal} = (ab)^p \ \quad p > 0 \end{eqnarray}$ Beispiel zu 4.1 $\begin{eqnarray} 2^2 \cdot 3^2 = (2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36 \end{eqnarray}$ 4.2 Division $\begin{eqnarray} \frac{a^p}{b^p} = \frac{\overbrace{a \cdot ... \cdot a}^{p-mal}}{\underbrace{b \cdot ... \cdot b}_{p-mal}} = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot ... \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b}}_{p-mal} = \left( \frac{a}{b} \right)^p \ \quad p > 0 \, , \ b \neq 0 \end{eqnarray}$ Beispiel zu 4.2 $\begin{eqnarray} \frac{2^2}{3^2} = \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{4}{9} \end{eqnarray}$
08.05.2004, 13:14	cm62	Auf diesen Beitrag antworten »
5. Beispiele 5. Beispiele 5.1 Beispiele zu 1. 1. a) $\begin{eqnarray} 7^3 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 2^{-2} \end{eqnarray}$ 5.2 Beispiele zu 2. 2. a) $\begin{eqnarray} 10^0 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 10^{-7} \end{eqnarray}$ 5.3 Beispiele zu 3. 3. a) $\begin{eqnarray} 7^2 \cdot 7^{-4} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \frac{7^2}{7^{-4}} \end{eqnarray}$ 5.4 Beispiele zu 4. 4. a) $\begin{eqnarray} 6^3 \cdot 5^3 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \frac{6^3}{5^3} \end{eqnarray}$ Lösungen: 1. a) $\begin{eqnarray} 7^3 = 343 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 2^{-2} = \frac{1}{4} = 0{,}25 \end{eqnarray}$ 2. a) $\begin{eqnarray} 10^0 = 1 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 10^{-7} = \frac{1}{10.000.000} \end{eqnarray}$ 3. a) $\begin{eqnarray} 7^2 \cdot 7^{-4} = \frac{1}{49} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \frac{7^2}{7^{-4}} = 11702 \end{eqnarray}$ 4. a) $\begin{eqnarray} 6^3 \cdot 5^3 = 27000 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \frac{6^3}{5^3} = \frac{191}{125} \end{eqnarray}$
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08.05.2004, 13:16	cm62	Auf diesen Beitrag antworten »
6. Wurzeln 6. Wurzeln 6.1 Potenzen und Radizieren $\begin{eqnarray} \overrightarrow{\text{Potenzieren}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{\|c\|c\|} \hline x & x^2 \\ \hline \hline 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 4 & 16 \\ 5 & 125 \\ \hline \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underleftarrow{\text{Radizieren}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{\text{Potenzieren}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{\|c\|c\|} \hline x & x^3 \\ \hline \hline 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 \\ \hline 2 & 8 \\ \hline 3 & 27 \\ \hline 4 & 64 \\ 5 & 125 \\ \hline \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underleftarrow{\text{Radizieren}} \end{eqnarray}$ Der Radikand (=das, was unter der Wurzel steht) einer n-ten Wurzel muss stets $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ sein. 6.2 Potenzieren und Radizieren Potenzieren: Man rechnet mit einer Potenz: $\begin{eqnarray} x^0 \, , \ x^1 \, , \ x^2 \, , \ x^3 \end{eqnarray}$ Radizieren/Wurzelziehen: Man macht aus einer Wurzel eine Potenz oder Zahl. $\begin{eqnarray} \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{8} = 2 \end{eqnarray}$ , denn $\begin{eqnarray} 2^3=8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{\frac{1}{n}} := \sqrt[n]{a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a^{\frac{m}{n}} := \sqrt[n]{a^m} \end{eqnarray}$
08.05.2004, 13:19	cm62	Auf diesen Beitrag antworten »
7. Beispiele zu 6. 7. Beispiele zu 6. 7.1 Wurzeln 1. a) $\begin{eqnarray} \sqrt{4} \end{eqnarray}$ = b) $\begin{eqnarray} \sqrt{9} \end{eqnarray}$ = 7.2 Potenzieren/Radizieren 2. a) x³ ; x=6 b) x² ; x=1 7.3 Wurzeln 3. a) $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{8} \end{eqnarray}$ = b) $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{27} \end{eqnarray}$ = Lösungen: 1. a) 2 b) 3 2. a) 6³=216 b) 1²=1 3. a) 2 b) 3 PS: Wurzelzeichen werden geändert.
08.05.2004, 13:20	cm62	Auf diesen Beitrag antworten »
8. Potenzen mit rationalen Exponenten 8. Potenzen mit rationalen Exponenten 8.1 Rationale Exponenten $\begin{eqnarray} \sqrt{2^8} = 2^4 \quad \sqrt{2^4} = 2^2 \quad \sqrt{2^2} = 2^1 \quad \sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{5^{27}} = 5^9 \quad \sqrt[3]{5^9} = 5^3 \quad \sqrt[3]{5^3} = 5^1 \quad \sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}} \end{eqnarray}$ Überträgt man das Gesetz von "Potenzen von Potenzen" auf rationale Exponenten, so erhält man: $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{a^n} = (a^{\frac{1}{n}})^n = a^{\frac{1}{n} \cdot n} = a^{\frac{n}{n}} = a \qquad a >0 \ \wedge \ n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ Andererseits ist auch: $\begin{eqnarray} \left( \sqrt[n]{a} \right)^n = a \qquad a > 0 \ \wedge \ n \in \mathbb N \end{eqnarray}$ 8.2 Definition Definition: Für $\begin{eqnarray} a > 0 \, {,} \ p \in \mathbb Z \ \text{und} \ q \in \mathbb N \end{eqnarray}$ ist: $\begin{eqnarray} a^{\frac{p}{q}} = \sqrt[q]{a^p} \end{eqnarray}$ Insbesondere ist für $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N \, {,} \ n > 1 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \quad a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \end{eqnarray}$ 8.3 Potenzgesetze für rationale Exponenten Sind r und s rationale Zahlen und sind a und b positive reelle Zahlen, so ist: Für Potenzen mit gleicher Basis: $\begin{eqnarray} \qquad a^r \cdot a^s = a^{r+s} \quad \frac{a^r}{a^s} = a^{r-s} \end{eqnarray}$ Für Potenzen mit gleichem Exponenten: $\begin{eqnarray} \qquad a^r \cdot b^r = (ab)^r \quad \frac{a^r}{b^r} = \left( \frac{a}{b} \right)^r \end{eqnarray}$ Für Potenzen von Potenzen: $\begin{eqnarray} \qquad (a^r)^s = a^{rs} \end{eqnarray}$
08.05.2004, 13:20	cm62	Auf diesen Beitrag antworten »
9. Beispiele zu 8. 9. Beispiele zu 8. 9.1 Beispiele zu 8.1 1. Berechne a) $\begin{eqnarray} \sqrt{2^8} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sqrt{2^2} \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{5} \cdot 2 \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \sqrt[9]{x} \cdot x \end{eqnarray}$ 9.2 Beispiele zu 8.3 2. Berechne a) $\begin{eqnarray} (a^{\sqrt{5}})^{3 \sqrt{5}} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \frac{b^{3 \sqrt{2} + 1}}{b^{2 \sqrt{2} - 2}} \end{eqnarray}$ Lösungen: 1. a) $\begin{eqnarray} \sqrt{2^8} = 2^4 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sqrt{2^2} = 2^1 \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{5} \cdot 2 = \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{2^3} = \sqrt[3]{5 \cdot 2^3} = \sqrt[3]{5 \cdot 8} \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} \sqrt[9]{x} \cdot x = \sqrt[9]{x} \cdot \sqrt[9]{x^9} = \sqrt[9]{x \cdot x^9} = \sqrt[9]{x^10} \end{eqnarray}$ 2. a) $\begin{eqnarray} (a^{\sqrt{5}})^{3 \sqrt{5}} = a^{\sqrt{5} \cdot 3 \cdot \sqrt{5}} = a^{3 \cdot 5} = a^{15} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \frac{b^{3 \sqrt{2} + 1}}{b^{2 \sqrt{2} - 2}} = b^{3 \sqrt{2} + 1 - (2 \sqrt{2} - 2)} = b^{3 \sqrt{2} + 1 - 2 \sqrt{2} + 2} = b^{\sqrt{2} + 3} \end{eqnarray}$
08.05.2004, 13:21	cm62	Auf diesen Beitrag antworten »
10. Zusammenfassung 10. Zusammenfassung 10. Zusammenfassung 10.1 Zehnerpotenzen / Potenzen 10.2 Potenzgesetze im Bereich Z 10.3 Potenzgesetze im Bereich R. 10.4 Wurzeln 10.5 Potenzieren von Potenzen 10.1 Zehnerpotenzen / Potenzen 10.1.1 Potenzen mit positivem Exponenten $\begin{eqnarray} a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot .... \cdot a \cdot a}_{n-mal} \end{eqnarray}$ 10.1.2 Potenzen mit negativem Exponenten $\begin{eqnarray} \frac{1}{a^n}:= a^{-n} \end{eqnarray}$ 10.1.3 Begriffserklärung $\begin{eqnarray} a^n \end{eqnarray}$ a ist die Basis und n der Exponent 10.1.4 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten $\begin{eqnarray} \begin{array}{\|c\|r\|c\|} \hline Potenzschreibweise & Dezimalschreibweise & Beschreibung \\ \hline \hline 10^1 & 10& \text{Eine Eins mit 1 Null} \\ \hline 10^0 & 1 & \text{Eine Eins mit 0 Nullen}\\ \hline \end{array} \end{eqnarray}$ 10.1.5 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten $\begin{eqnarray} \begin{array}{\|c\|r\|c\|} \hline Potenzschreibweise & Dezimalschreibweise & Beschreibung \\ \hline \hline 10^{-1} & 0{,}1 & \text{Eine Eins an der 1. Nachkommastelle} \\ \hline 10^{-2} & 0{,}01 & \text{Eine Eins an der 2. Nachkommastelle} \\ \hline \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 10^{-1} = \frac{1}{10} = 0,1 \end{eqnarray}$ 10.2 Potenzgesetze im Bereich Z. 10.2.1 Potenzen mit gleicher Basis 10.2.1.1 Multiplikation $\begin{eqnarray} a^p \cdot a^q = \underbrace{(a \cdot ... \cdot a)}_{p-mal} \cdot \underbrace{(a \cdot ... \cdot a)}_{q-mal} = \underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{(p+q)-mal} = a^{p+q} \end{eqnarray}$ 10.2.1.2 Division $\begin{eqnarray} a \neq 0 \, ; \ p , \, q > 0 \, ; \ p > q \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{a^p}{a^q} = \frac{\overbrace{a \cdot ... \cdot a}^{p-mal}}{\underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{q-mal}} \ \rightarrow \ \text{Kürzen} \ \rightarrow \ \frac{\overbrace{a \cdot ... \cdot a}^{(p-q)-mal}}{1} = a^{p-q} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} a \neq 0 \, ; \ p , \, q > 0 \, ; \ q > p \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{a^p}{a^q} = \frac{\overbrace{a \cdot ... \cdot a}^{p-mal}}{\underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{q-mal}} \ \rightarrow \ \text{Kürzen} \ \rightarrow \ \frac{1}{\underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{(q-p)-mal}} = \frac{1}{a^{q-p}} := a^{-(q-p)} = a^{p-q} \end{eqnarray}$ 10.2.2 Potenzen mit gleichem Exponenten 10.2.2.1 Multiplikation $\begin{eqnarray} a^p \cdot b^p = \underbrace{a \cdot ... \cdot a}_{p-mal} \cdot \underbrace{b \cdot ... \cdot b}_{p-mal} = \underbrace{(ab) \cdot (ab) \cdot ... \cdot (ab) \cdot (ab)}_{p-mal} = (ab)^p \ \quad p > 0 \end{eqnarray}$ 10.2.2.2 Division $\begin{eqnarray} \frac{a^p}{b^p} = \frac{\overbrace{a \cdot ... \cdot a}^{p-mal}}{\underbrace{b \cdot ... \cdot b}_{p-mal}} = \underbrace{\frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b} \cdot ... \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{b}}_{p-mal} = \left( \frac{a}{b} \right)^p \ \quad p > 0 \, , \ b \neq 0 \end{eqnarray}$ 10.3 Potenzgesetze im Bereich R. Es gelten dieselben Gesetze wie im Bereich $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ 10.4 Wurzeln $\begin{eqnarray} a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a} \end{eqnarray}$ Beispiel: $\begin{eqnarray} \sqrt[3]{8} = 2 \, {,} \ \text{denn} \ 2^3 =8 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{\text{Potenzieren}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{\|c\|c\|} \hline x & x^2 \\ \hline \hline 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 3 & 9 \\ \hline 4 & 16 \\ 5 & 125 \\ \hline \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underleftarrow{\text{Radizieren}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overrightarrow{\text{Potenzieren}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{array}{\|c\|c\|} \hline x & x^3 \\ \hline \hline 0 & 0 \\ \hline 1 & 1 \\ \hline 2 & 8 \\ \hline 3 & 27 \\ \hline 4 & 64 \\ 5 & 125 \\ \hline \end{array} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underleftarrow{\text{Radizieren}} \end{eqnarray}$ Der Radikand (=das, was unter der Wurzel steht) einer n-ten Wurzel muss stets $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ sein. Potenzieren: Man rechnet mit einer Potenz: $\begin{eqnarray} x^0 \, , \ x^1 \, , \ x^2 \, , \ x^3 \end{eqnarray}$ Radizieren/Wurzelziehen: Man macht aus einer Wurzel eine Potenz oder Zahl. $\begin{eqnarray} \sqrt{4} = 2 \end{eqnarray}$ 10.5 Potenzieren von Potenzen $\begin{eqnarray} (a^p)^q = a^{pq} \end{eqnarray}$ Beispiel: $\begin{eqnarray} (3^2)^3 = 9^3 = 729 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (3^2)^3 = 3^6 = 729 \end{eqnarray}$

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