[WS] Potenzen

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[WS] Potenzen
Workshop – Mathematik – Potenzen

1. Potenz
1.1 Was ist eine Potenz?
1.2 Potenzen mit positivem Exponenten
1.3 Potenzen mit negativem Exponenten

2. Zehnerpotenzen
2.1 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten
2.2 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten

3. Potenzen mit gleicher Basis
3.1 Multiplikation
3.2 Division

4. Potenzen mit gleichem Exponenten
4.1 Multiplikation
4.2 Division

5. Beispiele
5.1 Beispiele zu 1.
5.2 Beispiele zu 2.
5.3 Beispiele zu 3.
5.4 Beispiele zu 4.

6. Wurzeln
6.1 Potenzen und Radizieren
6.2 Potenzen und Radizieren

7. Beispiele zu 6.
7.1 Wurzeln
7.2 Potenzieren/Radizieren
7.3 Wurzeln

8. Potenzen mit rationalen Exponenten
8.1 Rationale Exponenten
8.2 Definition
8.3 Potenzgesetze für rationale Zahlen

9. Beispiele zu 8. und 9.
9.1 Beispiele zu 8.
9.2 Beispiele zu 9.

10. Zusammenfassung
10.1 Zehnerpotenzen / Potenzen
10.2 Potenzgesetze im Bereich Z
10.3 Potenzgesetze im Bereich R.
10.4 Wurzeln
10.5 Potenzieren von Potenzen
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1. Potenz
1. Potenz
1.1 Was ist eine Potenz?

Es ist eine Zahl der Gestalt .
Die Zahl a ist die Basis und n wird als Exponent bezeichnet.

1.2 Potenzen mit positivem Exponenten



1.3 Potenzen mit negativem Exponenten



Man sieht also, dass sich das Vorzeichen eines Exponenten umdreht, wenn man die Potenz als Bruch darstellen will bzw. von der Bruchdarstellung in die "normale" Darstellung wechselt.

Beispiele:




Dieser Regel und dem Gedanken eines negativen Exponenten kommt keinerlei Vorstellungsgehalt zu, ist alles reine Definition. Eine Begründung für dieses Definiton findet man beim Punkt 3.
 
 
cm62 Auf diesen Beitrag antworten »
2. Zehnerpotenzen
2. Zehnerpotenzen

2.1 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten



2.2 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten



Eine Erklärung für diese Schreibweise bietet die Regel
cm62 Auf diesen Beitrag antworten »
3. Potenzen mit gleicher Basis
3. Potenzen mit gleicher Basis
3.1 Multiplikation



Beispiel zu 3.1



3.2 Division










wobei aus folgt.
Diesen letzten Schritt bei der Umformung hat man definiert (erkennbar am := ) um eine einheitliche Regel und Schreibweise für Brüche von Potenzen mit gleicher Basis zu finden, die wie folgt lautet:

Beispiel zu 3.2

cm62 Auf diesen Beitrag antworten »
4. Potenzen mit gleichem Exponenten
4. Potenzen mit gleichem Exponenten
4.1 Multiplikation



Beispiel zu 4.1



4.2 Division



Beispiel zu 4.2

cm62 Auf diesen Beitrag antworten »
5. Beispiele
5. Beispiele
5.1 Beispiele zu 1.

1.

a)
b)

5.2 Beispiele zu 2.

2.

a)
b)

5.3 Beispiele zu 3.

3.

a)
b)

5.4 Beispiele zu 4.

4.

a)
b)


Lösungen:

1.

a)
b)

2.

a)
b)

3.

a)
b)

4.

a)
b)
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6. Wurzeln
6. Wurzeln
6.1 Potenzen und Radizieren

















Der Radikand (=das, was unter der Wurzel steht) einer n-ten Wurzel muss stets sein.

6.2 Potenzieren und Radizieren

Potenzieren:

Man rechnet mit einer Potenz:


Radizieren/Wurzelziehen:

Man macht aus einer Wurzel eine Potenz oder Zahl.


, denn


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7. Beispiele zu 6.
7. Beispiele zu 6.

7.1 Wurzeln

1.

a) =
b) =

7.2 Potenzieren/Radizieren

2.

a) x³ ; x=6 b) x² ; x=1

7.3 Wurzeln

3.

a) =
b) =


Lösungen:

1.

a) 2
b) 3

2.

a) 6³=216
b) 1²=1

3.

a) 2
b) 3

PS: Wurzelzeichen werden geändert.
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8. Potenzen mit rationalen Exponenten
8. Potenzen mit rationalen Exponenten

8.1 Rationale Exponenten





Überträgt man das Gesetz von "Potenzen von Potenzen" auf rationale Exponenten, so erhält man:



Andererseits ist auch:



8.2 Definition

Definition:
Für ist:
Insbesondere ist für :

8.3 Potenzgesetze für rationale Exponenten

Sind r und s rationale Zahlen und sind a und b positive reelle Zahlen, so ist:
Für Potenzen mit gleicher Basis:
Für Potenzen mit gleichem Exponenten:
Für Potenzen von Potenzen:
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9. Beispiele zu 8.
9. Beispiele zu 8.
9.1 Beispiele zu 8.1

1. Berechne

a)
b)
c)
d)


9.2 Beispiele zu 8.3

2. Berechne

a)
b)

Lösungen:

1.

a)
b)
c)
d)

2.

a)

b)
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10. Zusammenfassung
10. Zusammenfassung

10. Zusammenfassung
10.1 Zehnerpotenzen / Potenzen
10.2 Potenzgesetze im Bereich Z
10.3 Potenzgesetze im Bereich R.
10.4 Wurzeln
10.5 Potenzieren von Potenzen

10.1 Zehnerpotenzen / Potenzen

10.1.1 Potenzen mit positivem Exponenten



10.1.2 Potenzen mit negativem Exponenten



10.1.3 Begriffserklärung



a ist die Basis und n der Exponent

10.1.4 Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten



10.1.5 Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten





10.2 Potenzgesetze im Bereich Z.

10.2.1 Potenzen mit gleicher Basis
10.2.1.1 Multiplikation



10.2.1.2 Division










10.2.2 Potenzen mit gleichem Exponenten
10.2.2.1 Multiplikation



10.2.2.2 Division



10.3 Potenzgesetze im Bereich R.

Es gelten dieselben Gesetze wie im Bereich

10.4 Wurzeln



Beispiel:


















Der Radikand (=das, was unter der Wurzel steht) einer n-ten Wurzel muss stets sein.

Potenzieren:

Man rechnet mit einer Potenz:


Radizieren/Wurzelziehen:

Man macht aus einer Wurzel eine Potenz oder Zahl.



10.5 Potenzieren von Potenzen



Beispiel:


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