nullstellen

16.03.2006, 16:06

m1dn16h7

nullstellen

hallo,

es ist mir ja ein wenig peinlich zu schreiben, baer ich weiß nicht wie man nullstellen bei funktionen errechnen kann welche einen höheren grad haben als zwei. quadratische funktion: pq-formel. und bei dritten oder fünften grades? was macht man dort? und wofür ist eine polynomdivision gut. ich kann sie zwar aber weiß nicht wann ich sie anwenden soll.

danke smile

16.03.2006, 16:32

phi

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Für 3. Grades gibt´s auch eine Art pq-Formel , siehe hier.

4. Grades geht wenn esb biquadratisch ist, d.h. man setzt z=x^2, und wendet pq an .

Evariste Gaulois hat vor hundert Jahren bewiesen, dass 5. Grades und höher im Allg. nicht lösbar sind.

Polynomdivision nutzt man für 3. Grades und höher, bei denen dank des "tunen" unserer Lehrer meistens ganzzahlige Nullstellen rauskommen. smile

mfg

16.03.2006, 16:34

m1dn16h7

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ahso weil wir bei der kurvendisskusion ja auch nullstellen von fkt. 5. grades bestimmen sollen. also geht das nicht? was ist mit doppelter nullstelle und so? oder ist es prinzipiell unmöglich?

16.03.2006, 16:40

phi

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Durch Polynomdivision schon, da wir nur die lösbaren Fälle serviert bekommen. Doppelte und Dreifache Nullstellen sind durchaus möglich, auch 5-fache (n-fache) .

Z.B.: (x-2)(x-2)(x-2)(x-2)(x-2)=0

mfg

16.03.2006, 17:11

m1dn16h7

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das eigentliche problem ist: ich habe eine funktion

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{5}-5 x^{4} \end{eqnarray*}$

und soll dazu eine ausführliche kurvendisskusion machen. nun wie gesagt: bei den nullstellen hab ich keinen ansaztz. aber wenn 5 undhöher nicht möglich ist... im funktionsplotter zeigt er einen sattelpunkt an. aber ich weiß nochnicht mal ob man dass als nullstelle werten kann... extrempunkte besitzt der graph ja auch nicht, wie soll ich das denn dann berechnen? soo viele fragen...

16.03.2006, 17:14

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Zitat:

Original von m1dn16h7
aber wenn 5 und höher nicht möglich ist

Korrektur: Nicht allgemein möglich ist, d.h., für alle möglichen Koeffizienten.

In Sonderfällen ist es schon möglich, hier geradezu spotteinfach: Du musst doch nur $\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ ausklammern und dann beachten:

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist.

16.03.2006, 17:24

m1dn16h7

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oh. dann habe ich ausgeklammert (ich hab gleich 2x^4 genommen:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=2x^{4} (x-1,5)<br /> \end{eqnarray*}$

somit habe ich eine nullstelle bei 1,5. aber das bild ist ja folgendes... (siehe unten) bei 1.5 eine nullstelle (ah, beim plotter muss man '.' als komma eingeben Augenzwinkern

gut zu wissen.. Augenzwinkern

aber eine nullstelle ist ja ganz schön wenig. nun meine überlegung: polynomdivision anwenden. ich würde nun solange durch (x-1,5) teilen bis ich es eben nicht mehr kann. richtig? verwirrt

16.03.2006, 17:28

JochenX

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5:2 <> 1,5, das muss x=2,5 als NST sein
du hast doch ein Produkt, der andere Faktor 2x^4 liefert vierfache NST bei x=0

16.03.2006, 17:29

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Hast du dir mal deine Skale auf der y-Achse angesehen!!! geschockt

Plotte mal nur von $\begin{eqnarray*} x=-1\ldots 3 \end{eqnarray*}$ , dann siehst du mehr:

16.03.2006, 17:37

Daktari

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Zitat:

Original von m1dn16h7
oh. dann habe ich ausgeklammert (ich hab gleich 2x^4 genommen:

$\begin{eqnarray*} <br /> f(x)=2x^{4} (x-1,5)<br /> \end{eqnarray*}$

somit habe ich eine nullstelle bei 1,5. aber das bild ist ja folgendes... (siehe unten) bei 1.5 eine nullstelle (ah, beim plotter muss man '.' als komma eingeben Augenzwinkern

gut zu wissen.. Augenzwinkern

aber eine nullstelle ist ja ganz schön wenig. nun meine überlegung: polynomdivision anwenden. ich würde nun solange durch (x-1,5) teilen bis ich es eben nicht mehr kann. richtig? verwirrt

Deine Funktion ist doch $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{5}-5 x^{4} \end{eqnarray*}$ dein ausklammern $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{4} (x-1,5) \end{eqnarray*}$ würde stimmen, wenn
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{4}(x-1,5) = 2x^{5}-3x^{4}=f(x)=2x^{5}-5 x^{4} \end{eqnarray*}$ ist. Aber bis auf wenige Körper ist $\begin{eqnarray*} -5 \neq -3 \end{eqnarray*}$

Richtig ausgeklammert heißt das $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^{5}-5 x^{4}=x^{4}(2x-5) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{4}(2x-5) = 0 <=> x \in \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} 0, \frac{5}{2} \end{eqnarray*}$ }

Ansage

TIP: Nicht so viele Schritte auf einmal

16.03.2006, 17:55

m1dn16h7

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oh richtig, meine flüchtigkeitsfehler -.- sicher ist 2*2,5 = 5.

hm beim funktionsplotter (mankann ja x und y leer lassen - ich dacht das stimmt schon, dass das dann automatisch vergeben wird. auchwieder was hinzugelernt Augenzwinkern

)

die schreibweise $\begin{eqnarray*} x^{4}(2x-5) \end{eqnarray*}$ ist mir einwenig umheimlich, unser lehrer klammert immer so aus das (x-irgendwas) in der klammer steht, darum hatte ich (x-2,5) draus gemacht in der klammer.

also habe ich nun zwei nullstellen, 0 und 2,5. die lassen sich also aus $\begin{eqnarray*} f(x)=x^{4}(2x-5) \end{eqnarray*}$ erkennen. 0 ist hierbei 4fachnullstelle (hab ich das endlich richtig begriffen?)

herrje, man hat mal gesagt ich mache es mir oft schwerer als es ist. ich gelobe ja besserung aber es ist nicht so einfach.. vielen dank ! smile

16.03.2006, 19:37

phi

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Vielleicht erkennst du es so besser:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{4}(2x-5)=2(x-0)(x-0)(x-0)(x-0)(x-2.5)=0 \end{eqnarray*}$

mfg

17.03.2006, 16:39

smoooch

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gibts noch weitere nullstellen für diese funktion ausser 0 und 2,5??!! verwirrt

17.03.2006, 16:44

JochenX

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offensichtlich nicht, denn die müsste ja NST eines der Faktoren sein

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