Vollständige Induktion

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h4ck Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion
hi junx...hab jetzt mal für die andre aufgabe n neuen thread eröffnet sonst kommt alles durcheinander....ich soll diese aufgabe per vollständige induktion beweisen...



ich weiss abba leider schonmal gar nicht was bedeutet unglücklich unglücklich und weiss also auch gar nich wie ich irgendwie anfangen kann : /
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

dieses Summenzeichen ist nur eine Abkürzung

i durchläuft 1 bis n und für jedes i bekommst du einen Summanden (dazu i einsetzen)
das ist also nix anderes als 1^2+2^2+..+n^2.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Also dass das das Symbol für eine Summe ist solltest du schon wissen.

h4ck Auf diesen Beitrag antworten »

okay...dann müsst ich da also stehen haben :



richtg??

und was nu ??

wie soll ich das denn für n=1 zeigen ?? wenn da irgendwie was fehlt : /
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt fängste an, indem du zeigst, dass die aussage für das niedrigste n gültig ist, hier also n=1:


dann musst du zeigen, dass die behauptung auch für den nachfolger eines n immer gilt:
induktionsvoraussetzung:
du sagst einfach mal, dass die behauptung für ein wahr sein soll:


dann zeigst du, dass mit der getroffenen annahme (behauptung für ein beliebiges sei wahr) auch die behauptung für gilt, wobei du deine voraussetzung verwenden sollst:


gruß, system-agent
h4ck Auf diesen Beitrag antworten »

woher haste denn das =1=1^2 ???
komm so schnell gar nich hinterher....versteh gar nich wo was herkommt irgendwie...kan mir das nich einer suuper ausführlich hinschreibn ?
 
 
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

ich hab einfach einmal die linke seite und einmal die rechte seite deiner behauptung für n=1 hingeschrieben. auf der seite mit dem summenzeichen ergibt sich 1 und rechts eben 1^2
h4ck Auf diesen Beitrag antworten »

okay...dann hätten wir das erledigt.....n=1 is die aussage wahr....abba was is jetzt mit n+1 ??? das versteh ich gar nich : /
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

naja, wenn du zeigen kannst, dass die aussage für den nachfolger eines beliebigen auch gilt, dann gilt sie für alle n € IN, da sie ja für 1 gilt (erster schritt). da du gerade gezeigt hast dass sie auch für den nachfolger gilt, ist die behauptung auch für , also n=2 richtig und so weiter.
wenn du nun annimmst, dass sie für EIN bestimmtes gilt und dann zeigen kannst, dass daraus folgt, sie gilt auch für , dann haste für alle n die behauptung bewiesen
h4ck Auf diesen Beitrag antworten »

ja okay das versteh ich jez auch.....abba wo setzt ich auf der linken seite zB n+1 ein ?? für n^2 ??? das is ja links ne kette...und rechts dann auch für jedes n = n+1 einsetzn ???
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Du ersetzt jedes n mit n+1. Dann bekommst du die Aussage, die zu zeigen ist.
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nochmal der Induktionsanfang, damit es wirklich klar ist:

Wenn man bei n=1 abbricht, wird aus





system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

also dann mach mal weiter, der schritt von auf , und verwende dabei die voraussetzung !!
h4ck Auf diesen Beitrag antworten »

also ich hab das dann so gemacht , dass da steht :



stimmt das ??


wenn ich dass dann ausmultipliziere und so steht dann da :



is das auch richtig ???

wie soll ich denn jez die induktionsvorraussetzung einbauen ?? unglücklich unglücklich

hilfeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Fast richtig...

Einerseits ist die Reihe bis n+1 gleich der Reihe bis n (für die wir die IV einsetzen) plus das (n+1)-te Glied:

Induktions-Schritt:

...und andererseits, das was du meintest, ist wenn wir die IV direkt auf die Reihe bis (n+1) anwenden:



Dein Job ist es nun zu zeigen, dass bei beiden das gleiche rauskommt. Dann hast du die Behauptung bewiesen !

mfg, phi
h4ck Auf diesen Beitrag antworten »

danke phi....also dass ich schonma nich ganz falsch liege freut mich grad total.....abba ich kann leider deine erklärung nicht ganz verstehen...komme mit diesen komischen summenzeichen und so nich ganz klar und mit "wenn wir die IV direkt auf die Reihe bis (n+1) anwenden"...kannst du evtl. nochmal meine letzte ausgangsformel benutzten und mir anhand dieser evtl. erklären was falsch ist ?? wäre echt klasse denn das verwirtrt mich einfach halt nur irgendwie unglücklich unglücklich
phi Auf diesen Beitrag antworten »

richtig ist:



und

.

letzteres musst du einfach an die Reihe mit n Gliedern dranhängen.

Mit der Abkürzung für Summen und Reihen musst du dich aber auseinandersetzen. Beispiel:

Für n=3:



und für n+1 :



und dann schau dir in Ruhe meine letzte Post durch.

Und wenn du noch Fragen hast, versuche genau zu formulieren was du nicht verstehst.

mfg, phi
h4ck Auf diesen Beitrag antworten »

meine genaue frage ist also wie du auf diesen schritt komst..Induktions-Schritt:

wieso ist

ich dachte die IV ist



deswegen dacht ich dass könn wir dann einfach in meine vorherige gleichung für n^{2} einsetzten.....???
phi Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, IV ist:



und andererseits ist:



und wenn wir um 1 weiterzählen, also +1 ist:



Daraus folgt:



Schau´s dir in Ruhe an, zusammen mit dem was oben steht. Ich muss jetzt ins Bett, sonst Ärger mit Freundin...

Schläfer
h4ck Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe muss ich also beweisen , dass



ist das richtig ????

wenn ja , hab ich schonma weitergemacht abba ich kriegs nich hin genau zu zeigen dass die linke seite eindeutig größer ist : /
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. unglücklich Woher kommt das ">"-Zeichen? verwirrt

Du mußt beweisen, daß ist. Dabei darfst du (und mußt du auch) die Induktionsvoraussetzung

verwenden.

Ein Teil des Beweises ist doch schon gemacht worden. Ich fasse das mal zusammen:


So. Und diese rechte Seite muß identisch sein mit der rechten Seite von:

Da muß man nur noch geschickt zusammenfassen.
h4ck Auf diesen Beitrag antworten »

ich muss also zeigen dass




ist richtig ??

hab das dann mal weitergeführt und bleibe jedoch beim ausmultipliziern und zusammfassen bei



fest unglücklich irgendwo n fehler oder is das richtig und ich weiss nur nich wie weiter ??
riwe Auf diesen Beitrag antworten »


werner
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Dazu eine kleine Erläuterung:

Jetzt (n+1)/6 ausklammern:

Und jetzt überlege mal, was (n+2)*(2n+3) ist.
h4ck Auf diesen Beitrag antworten »

@ klarsoweit...versteh nich ganz wie du von meiner gleichung



auf deine kommst ??? woher kommt das auf der rechten seite ??? ist meiner rechte seite falsch ???
warum steht da auf beiden seiten aufeinmal das gleiche `??
h4ck Auf diesen Beitrag antworten »

@ klarsoweit.....habe leider das eine "=" übersehen..dachte du hast eine komplette neue gleichung aufgebaut...aber du hast mir ja nur die linke seite anders ausgedrückt...also bleibt dann ja nur noch übrig
1/6 (n+1) = 1/6 (n+1) also 1=1 smile smile ja ??

freuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von h4ck
1/6 (n+1) = 1/6 (n+1) also 1=1 smile smile ja ??

Nun ja. Eigentlich war nur noch zu schreiben:
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