LGS - det |
| 17.03.2006, 11:49 | kingskid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| LGS - det was ich nun nicht verstehe ist der vorgeschlagene Lösungsweg. es wird berechnet: daraus würde dann folgen (warum??) dass und beide den rang 3 haben und somit(warum?) das LGS für jedes a aus R lösbar ist. wär super, wenn ihr mir das erklären könnte, warum man das so folgern kann ?? 
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| 17.03.2006, 11:59 | brunsi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: LGS - det naja also mit der determinante ist ja folgendes: stelle dir die spalten dieser matrix einfach mal als vektoren vor. wenn die anzahl und die reihenfolge der komponenten von zwei vektoren hier halt gleich ist, dann sieht man doch dass sie linear abhängig sind und man kann sie quasi vernachlässigen kann. ediT: wenn der rang ,deiner angegebenen Matrix, 3 ist, und dann quasi eine Matrizenmultiplikation durchführst, siehst du, dass du (3x3) *(3x1) rechenen kannst und somit für jedes a eine Lösung errechnen kannst. |
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| 17.03.2006, 14:20 | phi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder einfacher: Die Determinante einer Matrix ist genau dann 0 wenn zwei Zeilen gleich sind, oder allgemeiner wenn mindestens eine Zeile Linearkombination von anderen Zeilen ist. Und für jede Zeile die linear abhängig ist vermindert sich der Rang um 1. mfg, phi |
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| 17.03.2006, 14:26 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
nur mal ne Zwischenfrage: stört dich wirklich der Lösungsweg an sich oder stört dich die Vernachlässigung der 4. Komponente? würdest du das ganze verstehen, wenn es direkt um diese 3x3-Matrix gegangen wäre? |
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| 17.03.2006, 14:35 | kingskid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aha, so ist das... danke euch für die erklärungen, aber ganz klar ist es mir noch nicht. also ich weiß, dass wenn die det einer matrix ungleich 0 ist, dann ist das zugehörige (homogene) LGS eindeutig lösbar. dass der rang kleiner wird, wenn man abhängige spalten hat, versteh ich auch noch... aber wieso kann man eine lösung für das a durch matrzenmultiplikation bekommen? @LOED, neeh, ich würds auch mit 3x3 nicht wirklich checken. gilt das mit der det ungleich 0 auch für inhomogene LGS oder warum darf ich die lösungsspalte da ganz weglassen ??? ich hätte versucht das ganz normal mit dreieckstufen form und so zu berechnen, der weg über die determinante, der ja viel schneller zu schein seint ist mir unklar... |
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| 17.03.2006, 14:38 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sei A quadratisch (bekommst du hier z.B. durch Wahl von x4=0) und det(A) ungleich 0, dann ist A invertierbar. dann ist das LGS Ax=b für x=A^(-1)b eindeutig lösbar (hier ist deine Matrizenmultiplikation), dein erweitertes LGS mit der x4Spalte hat also die Lösung A^(-1)b und als 4. Komponente 0. => det(A)<>0 zeigt sofort, dass es immer lösbar ist =>det(A)=0 zeigt noch nichts direkt, da ja die 4. Komponente auch noch zählt |
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| 17.03.2006, 14:57 | kingskid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke für deine erklärungen...
bis zu dem satz konnt ich dir folgen... das b ist doch die 5.spalte, oder? was meinst du mit 4.Komponente = 0? dass =0 und die andren könnte man mit A^(-1) * b berechnen? aber dann bekomm ich doch wieder einen vektor raus? und zu det(A)=0 ham wir mal gelernt, dass es dann keine Lösung oder unendlich viele, aber keine eindeutige Lösung gibt, stimmt das?? |
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| 17.03.2006, 15:04 | JochenX | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
zunächst mal: Determinanten, Invertierbarkeit... das gibts alles nur bei quadratischen Matrizen! b ist deine Ergebnisspalte (also das, was bei dir extra steht!). bei dir ist nun A die 3x3-Matrix und daneben hast du halt noch eine Spalte (für x4), ich kürze diese Spalte mal z ab dann sieht dein LGS so aus [Az]x=b, dabei ist Az einfach die A-Matrix um die Spalte rechts erweitert, x ist (x1,x2,x3,x4) du wirst feststellen dass das nix anderes als A*x'+z*x4=b ist (x' ist dabei nur noch (x1,x2,x3)) ist. Das klingt hier kompliziert entspricht aber nur einer Abspaltung von x4..... wenn nun A*x'=b' (A quadratisch) für jedes b' lösbar ist (weil A invertierbar!), dann muss auch A*x'=b-z*x4 lösbar sein (sogar für alle x4) du bekämst also für jedes x eine Lösung von (x1,x2,x3), was einem eindimensionalen Lösungsraum für ganz x=(x1,x2,x3,x4) entspräche. Das klingt kompliziert, aber versuchs dir mal klar zu machen |
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| 17.03.2006, 15:18 | kingskid | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay... ... is echt etwas complicated, aber so bissle ist es mir klar geworden... muss das in ruhe nochmal durchdenken... danke dir für deine hilfe 
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