Schnittwinkel zweier Funkionen

17.03.2006, 16:49

kkkiwi

Schnittwinkel zweier Funkionen

huhu hat jemand ne Ahnung wie ich den Schnitwinkel zweier Funktionen bestimme?

meine Funktionen sind $\begin{eqnarray*} f(x)=(1+2x)*e^(hoch)-0,5x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)= e^(hoch)-0,5x \end{eqnarray*}$

Als schnittpunkt hab ich s(0/1) herausbekommen

dann hab ich die ableitung der beiden Funktionen und jeweils die Steigung im Schnittpunkt bestimmt.

für $\begin{eqnarray*} f'(1)=0,5 e(hoch)^-0,5 \end{eqnarray*}$
und für $\begin{eqnarray*} g'(1)= -0,5e(hoch)^-0,5 \end{eqnarray*}$

nuja jetzt weiß ich aber nicht wie ich weiter machen muss,bzw ob mein ansatzt überhaupt richtig ist, wär echt net wenn mir irgendwer weiterhelfen könnte

17.03.2006, 16:50

klarsoweit

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RE: Schnittwinkel zweier Funkionen
Bestimme aus den Steigungen die Winkel zur x-Achse und nimm die Differenz.

17.03.2006, 16:52

kkkiwi

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RE: Schnittwinkel zweier Funkionen
wie bestimm ich denn den schnittwinkel zur x-achse?

17.03.2006, 16:54

klarsoweit

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RE: Schnittwinkel zweier Funkionen
Denke an das Steigungsdreieck: Du gehst eine Einheit nach rechts und m Einheiten nach oben. Daraus kannst du mit Winkelfunktionen den Steigungswinkel berechnen.

17.03.2006, 16:59

kkkiwi

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naja ich kann ja bei ner e - funktion keine einhait nach rechts und nach oben gehen,oder?

wenn doch könnte ich dann mit cos(alpha) = ankathete/Hypotenuse

den winkel bestimmen?

17.03.2006, 17:23

mYthos

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Nee, so geht's nicht, da bist du auf einer falschen Fährte!

Der Tangens des Winkels der Tangente in einem Punkt $\begin{eqnarray*} S(x_1;f(x_1)) \end{eqnarray*}$ von f(x) ist gleich der ersten Ableitung der Funktion an dieser Stelle: $\begin{eqnarray*} f'(x_1) \end{eqnarray*}$ .

Mit der arctan - Funktion ermittelst du daraus den Winkel.

mY+

17.03.2006, 18:36

kkkiwi

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hallo mythos

den wert an der stelle f´(x) hab ich ja bestimmt, allerdings kenn ich die arctan funktion nicht. bzw es ist die tan funktion hoch -1 was sett ich den dann für die gegenkathete und die ankathete ein?

17.03.2006, 23:50

mYthos

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Die Katheten sind hier nicht vonnöten! Die Tangenswerte, das sind die Steigungen $\begin{eqnarray*} m_1, m_2 \end{eqnarray*}$ im Schnittpunkt (0;1), werden jeweils von den ersten Ableitungen der beiden Funktionen an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ direkt geliefert (x = 0 dort einsetzen). $\begin{eqnarray*} tan^{-1} \end{eqnarray*}$ am Taschenrechner bringt dann die Winkel!

Kontrollergebnisse für die Steigungen beider Funktionen (bei x = 0): $\begin{eqnarray*} m_1 = \frac{3}{2}, m_2 = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

mY+

18.03.2006, 00:23

Bjoern1982

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Du hast oben noch den Fehler gemacht und f'(1) bzw. g'(1) berechnet.

Die Graphen von f und g schneiden sich aber doch in (0/1), also an der Stelle x=0.

Wie klarsoweit ja schon sagte gehst du beim einzeichnen eines Steigungsdreiecks ja 1 Einheit nach rechts und m Einheiten nach oben.

Hier entspricht ja diese 1 Einheit schonmal der Ankathete, woraus folgt, dass sich der Wert (die Länge) für die Gegenkathete aus der Steigung m ergibt.

Durch diesen Quotienten erhälst du erstmal den Tangens, also das Verhätnis zwischen Gegenkathete und Ankathete.
Den Winkel selbst erhält man durch die Umkehrfunktion, also durch den Arctan dieses Quotienten.

Es gibt noch die Altenative mit der Formel $\begin{eqnarray*} cos(\alpha)= \frac{|\vec{a}*\vec{b}|}{|\vec{a}|*|\vec{b}|} \end{eqnarray*}$ zum Ziel zu kommen.

Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ geben die jeweilige Richtung (Steigung) der Tangente im Schnittpunkt (0/1) an.

$\begin{eqnarray*} \vec{a}= \begin{pmatrix} 1 \\ m_f \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{b}= \begin{pmatrix} 1 \\ m_g \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} m_f \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} m_g \end{eqnarray*}$ müssen nur die entsprechenden Steigungen der Tangenten eingetragen werden.

Voraussetzung ist allerdings, dass du weißt wie man ein Skalarprodukt ausrechnet und wie der Betrag (Länge) eines Vektors definiert ist...

Gruß Björn

18.03.2006, 00:29

Bjoern1982

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@mYthos

Wie kommst du denn auf m_1=1,5 ?

Müsste doch m_1=1 lauten oder?

Gruß Björn

18.03.2006, 03:41

kkkiwi

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hallo ihr beiden
danke für eure hilfe hat mir echt geholfen! smile

18.03.2006, 09:27

mYthos

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Zitat:

Original von Bjoern1982
@mYthos

Wie kommst du denn auf m_1=1,5 ?

Müsste doch m_1=1 lauten oder?

Gruß Björn

@Björn

Die Ableitung von

$\begin{eqnarray*} f(x) = (1 + 2x)e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} f'(x) = 0,5(3 - 2x)e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$

und wenn ich darin für x = 0 einsetze, erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

mY+

18.03.2006, 09:44

Bjoern1982

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Also ich erhalte nach der Produktregel:

f'(x)= $\begin{eqnarray*} 2*e^{-0,5x}+(1+2x)*(-0,5e^{-0,5x})=e^{-0,5x}*(1-2x) \end{eqnarray*}$

Was mach ich denn da falsch?

Gruß Björn

18.03.2006, 12:00

mYthos

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Zitat:

Original von Bjoern1982
Also ich erhalte nach der Produktregel:

f'(x)= $\begin{eqnarray*} 2*e^{-0,5x}+(1+2x)*(-0,5e^{-0,5x})=e^{-0,5x}*(1-2x) \end{eqnarray*}$

Was mach ich denn da falsch?

Gruß Björn

Dein Fehler ist, dass $\begin{eqnarray*} 1 \cdot(-0,5) = -0,5 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ ist:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = ... = 2e^{-0,5x} - 0,5e^{-0,5x} - xe^{-0,5x} = e^{-0,5x}(2 - 0,5) - xe^{-0,5x} = (1,5 - x)e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$

mY+

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