exponential

18.03.2006, 08:07

gugelhupf

exponential

hallo,

kann mir jemand sagen, was man hier machen muss, weil ich leider den log. nicht verstehe.

$\begin{eqnarray*} 8^{2x+3} =6 \end{eqnarray*}$

welches gesetz muss man nehmen dafür?

ich dachte eigentlich, dass das 4. immer geht :-(

18.03.2006, 08:55

phi

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hallo,

Bevor du den Logarithmus anwendest, kannst du erst umformen:

$\begin{eqnarray*} a^x=e^{x \ln a} \end{eqnarray*}$

mfg, phi

18.03.2006, 09:55

N8schichtler

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Zitat:

Original von phi
hallo,

Bevor du den Logarithmus anwendest, kannst du erst umformen:

$\begin{eqnarray*} a^x=e^{x \ln a} \end{eqnarray*}$

mfg, phi

Ich verstehe nicht, was das mit dem Problem zu tun hat. Du veränderst doch nur die Basis, aber es gibt doch nicht nur den natürlichen Lorgarithmus.
Einzig, wenn man die Ableitung bestimmen will und vergessen hat wie man Exponentialfunktionen mit Basis ungleich e ableitet, wäre das sinnvoll. Aber von Ableitungen lese ich gar nichts.

18.03.2006, 09:59

gugelhupf

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ja weil ich erst einführungsphase bin.

ich verstehe das mit dem umformen nicht. wir haben es erst immer mit dem log. umgeschrieben und dann umgestellt, aber ich weiß immer nicht welches gesetz,.

18.03.2006, 10:16

N8schichtler

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Ich weiß leider nicht, was das 4. Gesetz bei euch ist, darum weiß ich nicht genau, was du meinst.

18.03.2006, 10:18

gugelhupf

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lga/lgb=log klein b zu a

18.03.2006, 10:21

N8schichtler

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Versuche doch lieber mal, die linke Seite zu vereinfachen, damit du überhaupt an dein x herankommst. Schau dir am besten mal die Definition des Logarithmus an, dann solltest du wissen, was du machen musst.

18.03.2006, 10:24

gugelhupf

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welches gesetz also?

18.03.2006, 10:42

mYthos

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Hi!

phi hat dich leider auf eine falsche Fährte gebracht.
Logarithmiere doch gleich, nach dem Gesetz

$\begin{eqnarray*} log(a^x) = x \cdot log(a) \end{eqnarray*}$

somit

$\begin{eqnarray*} (2x + 3) \cdot log(8) = log(6) \end{eqnarray*}$

Als Basis des log kannst du sowohl 10 als auch e nehmen (lg oder ln).
Nun ausmultiplizieren, ordnen, nach x auflösen

mY+

18.03.2006, 10:46

N8schichtler

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Kein Gesetz, die Definition selbst:
$\begin{eqnarray*} x=\log_b a \Leftrightarrow a=b^x \end{eqnarray*}$

18.03.2006, 11:02

N8schichtler

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Zitat:

Original von mYthos
Als Basis des log kannst du sowohl 10 als auch e nehmen

Ich nehme stark an, klingklang fängt gerade erst mit Logarithmen an. Warum sollte man es ihm also schwer machen und mit irgendwelchen Gesetzen zu hantieren. Warum nicht direkt den Logarithmus zur Basis 8 nehmen? Genau das, was die Definition auch sagt!

Geht es darum, das Ergebnis möglichst leicht mit dem Taschenrechner auszurechnen, weil es dort nur die Tasten log und ln gibt?
Ich finde, dieses Vorgehen behindert den Schüler, wirklich zu verstehen, was ein Logarithmus sein soll.

18.03.2006, 12:38

phi

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So hat jeder von uns einen "einfachen" Weg gesucht, und jeder ist richtig und hat seine Vor- und Nach-teile für den Lernenden...

Ich habe meinen Weg vorgeschlagen um das "Potenzgesetz" zu vermeiden, also dass

$\begin{eqnarray*} log(a^x) = x \cdot log(a) \end{eqnarray*}$ ,

da sich wegen ln(e)=1 das e wieder weghebt:

$\begin{eqnarray*} \ln 6=\ln(8^{2x+3})= \ln(e^{(2x+3) \ln 8})= (2x+3) \ln 8 \end{eqnarray*}$

Und bei euch beiden N8schichtler & Mythos geht es nur darum erst die Definition und dann Klingklangs 4.Gesetz anzuwenden, oder Mythos Vorschlag doch gleich das 4. Gesetz anzuwenden, welches besagt das man Logarithmen zu beliebigen Basen b durch 10-er oder e-Logarithmus berechnen kann.

$\begin{eqnarray*} x=\log_b a \Leftrightarrow a=b^x \end{eqnarray*}$

heißt also

$\begin{eqnarray*} 2x+3=\log_8 6 \Leftrightarrow 6=8^{2x+3} \end{eqnarray*}$

Und nun muss dass 4.Gesetz

$\begin{eqnarray*} \log_b a = \frac{\lg a}{\lg b}= \frac{\ln a}{\ln b} \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} \log_8 6 \end{eqnarray*}$

angewendet werden.

18.03.2006, 12:48

N8schichtler

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Genau. Ich finde dabei vor allem den Term $\begin{eqnarray*} \log_8 6 \end{eqnarray*}$ wichtig. Denn hier sieht man wirklich, was man eigentlich gerechnet hat. Die Tatsache, dass die wenigsten Schüler wirklich mit Logarithmen (vor allem auch nach der Klassenarbeit) umgehen können, bestätigt meine Annahme.

Aber egal, klingklang hat nun 2 Wege zum rechenen oder 3 Wege zum Verständnis erhalten. Nun ist es an ihm, sich einen davon auszusuchen.

18.03.2006, 13:17

mYthos

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Hi!

Theoretisch ist das zwar alles schön und gut, aber für das praktische Rechnen Unfug bzw. nicht zielführend.

Warum soll man das Potenzgesetz "vermeiden"??? Dieses ist doch das Um und Auf beim Rechnen mit Logarithmen!

Ich habe NICHT gemeint, Logarithmen beliebiger Basen durch solche der Basis 10 oder e zu ersetzen, sondern die Exponentialgleichung GLEICH bezüglich der "richtigen" Basis zu logarithmieren und nicht erst auf die Basis 8 umzuschreiben.

Ich weiss nicht, ob euch dieser kleine Unterschied überhaupt aufgefallen ist.

Wer hat denn schon in der Praxis für die Basis des Logarithmus andere Zahlen als e und 10 zur Verfügung?

Diese Exponentialgleichung wird daher im Schulbereich prinzipiell durch direktes Logarithmieren entweder zur Basis 10 oder eben e gelöst und nicht anders.

Daher auch die (nicht beabsichtigte) Verwirrung des Fragestellers.

mY+

18.03.2006, 13:19

phi

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Dennoch ist Mythos Weg vom Rechnen her der ökonomischste.

Aber der Witz am Logarithmus für den Neuling ist es zu erkennen, dass das Potenzieren zwei Umkehrungen hat:

0) Potenz

1) Wurzel

2) Logarithmus

Also

$\begin{eqnarray*} x=\log_b a \Longleftrightarrow a=b^x \Longleftrightarrow \sqrt[x]{a}=b \end{eqnarray*}$

So ist mit etwas Übung, jede Potenzgleich beliebig nach a,b oder x umformbar, je nach dem was grade gebraucht wird.

Edit: Hast ja recht Mythos, das Potenzgesetz und dass

ln(xy)=ln(x)+ln(y)

ln(x/y)= ln(x)-ln(y)

und Klingklangs 4. Gesetz, sind das A und O der Logarithmusrechnung. smile

mfg, phi

18.03.2006, 13:38

N8schichtler

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Zitat:

Original von mYthos
Warum soll man das Potenzgesetz "vermeiden"???

Es geht doch nicht um die Vermeidung eines Gesetzes, sondern um das Verständnis, warum hier überhaupt logarithmiert werden muss.

quote]Original von mYthos
... GLEICH bezüglich der "richtigen" Basis zu logarithmieren und nicht erst auf die Basis 8 umzuschreiben.[/quote]
Und genau hier sehe ich es anders. Tatsächlich ist es doch ein Logarithmus zur Basis 8, der dann enst auf die Basis 10 oder e umgeschrieben wird. Somit verdrehst du doch, was tatsächlich passiert.
Der Grund ist aber einzig der, dass der Taschenrechner es nicht anders kann. Zugleich könnte man fragen, warum es überhaupt 2 Logarithmen auf dem TR gibt. Und die Antwort ist doch die, dass Schüler mit dem 10-Logarihmus leichter an das Thema herangeführ werden können als mit einer Basis, die nicht einmal rational ist. So wird also die Basis e zunächst vermieden, obwohl die ähnlich schwierige Zahl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ schon bekannt ist.

Sicherlich hast du recht, dass später direkt logarithmiert wird, ich empfinde es aber als wichtig, den Kindern nicht einfach nur ein Gesetz an den Kopf zu schmeißen mit der Begründung "das macht man so", sondern einen Grund anzugeben. Und der Grund ist, dass man zunächst die Definition anwendet und dann die den Logarithmus auf eine andere Basis umschreibt, die der Taschenrechner berechnen kann.

Aber naja, es ist eine Ansichtssache und da wir beide mathematisch recht haben auch letztlich egal.

18.03.2006, 14:30

gugelhupf

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ja ich verstehe das mit dem log nicht. wir haben auch nur ganz wenig aufgaben gerechnet und im buch steht auch nichts dazu, weil das buch erst für die 12. klasse eigentlich ist. und unser lehrer meinte, dass das 4. gesetz nur wichtig ist.. beim anderen hat er irgendwie noch nichts in den abiaufgaben gesehen, was ich mir eigentlich nicht vorstellen kann.
ich muss das aber noch verstehen irgendwie.
ich verstehe auch nicht, warum manchmal ln und manchmal log und manchmal lg ist. das ist auch sehr depressivierend.
und das potenzgesetz was mythos meint, ist bei uns das 3. aber etwas anders- so: log klein a zur basis u mit dem expo. v = v*loga u

und wenn ich das jetzt rechne habe ich gar keinen wert auf meine aufgabe für das kleine a unter dem log.

(2x+3)*log8=lg 6
x= -1,07

falls das stimmt

$\begin{eqnarray*} 5*3^{2x} = 4^{x} \end{eqnarray*}$

darf ich da einfach 5*3 rechnen und dann 15 schreiben und dass dann wieder auf beiden seiten so runterholen?

18.03.2006, 14:45

derkoch

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Zitat:

Original von klingklang

ich verstehe auch nicht, warum manchmal ln und manchmal log und manchmal lg ist. das ist auch sehr depressivierend.

ln ist der natürliche logarithmus! basis ist die eulersche zahl!

lg ist der zehner logarithmus! basis ist 10!

normalerweise wird der log meistens gleich dem lg angenommen, falls keine andere basis vorgegeben ist!
aber der log kann auch zur anderen basis verwendet werden zb.

$\begin{eqnarray*} log_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} log_4 \end{eqnarray*}$

usw....

Zitat:

Original von klingklang
$\begin{eqnarray*} 5*3^{2x} = 4^{x} \end{eqnarray*}$

darf ich da einfach 5*3 rechnen und dann 15 schreiben und dass dann wieder auf beiden seiten so runterholen?

nein darfst du nicht!
hier mußt du zuerst alles was mit x behaftet ist auf eine seite bringen, d.h. zuerst durch $\begin{eqnarray*} 4^x \end{eqnarray*}$ teilen , dann die 5 auf die rechte seite bringen und dann darfst du erst logarithmieren!

18.03.2006, 14:50

gugelhupf

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aha. ich verstehe noch nicht, weil wir das kleine e erst nächste stunde machen.

ich kann aber 4^x nicht einfach rüberbringen. man muss es doch minus rechnen.

18.03.2006, 14:54

derkoch

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$\begin{eqnarray*} 3^{2x}= \frac{4^x}{5} \end{eqnarray*}$

jetzt darfst du!

18.03.2006, 14:58

gugelhupf

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gut. das dachte mir wohl schon fast :-D

(2x)log3=log 4x -log 5

ich denke dann immer dass log eine variable ist. weil ich nicht sehe, was ich dann da zusammenfassen kann. 2xlog3 ist doch nicht das gleiche wie log4x oder?

18.03.2006, 15:04

derkoch

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du solltest dir in aller ruhe nochmal die potenzgesetze usw.. anschauen! das erleichtert einem bei solchen rechnungen! smile

$\begin{eqnarray*} 3^{2x} = (3^2)^{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{a^x}{b^x}= (\frac{a}{b})^x \end{eqnarray*}$

18.03.2006, 15:06

gugelhupf

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ohwww man. jammer. die 5 hat doch aber gar kein x .. oder eine 1 als x?

außerdem ist meins doch eh fast richtig

2xlg3=xlg4-lg5

aber trotzdem ist das zusammenfassen scheiße.

- xlg4 bestimmt.

18.03.2006, 16:06

gugelhupf

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das leben ist hart. sagt der zeh.

18.03.2006, 21:51

zweiundvierzig

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Ich glaube, klingklang hat ein grundsätzliches Verständnisproblem.
Die Smybole des Logarithmus ( $\begin{eqnarray*} lg \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} log \end{eqnarray*}$ ) sind keinesfalls Variablen, sondern Operanden, die eines Parameters bedürfen.

Zum bessen Verständnis hätte man vielleicht die Schreibweise $\begin{eqnarray*} lg(a) \end{eqnarray*}$ wählen sollen. Die Klammer signalisiert ja, dass hier Argumente enthalten sein müssen.

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} log_b(a) \end{eqnarray*}$ ist der Wert, mit dem man $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ potenzieren muss, um $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

$\begin{eqnarray*} x=log_b(a) \end{eqnarray*}$ wenn gilt $\begin{eqnarray*} a=b^x \end{eqnarray*}$

Die Operanden $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} lg \end{eqnarray*}$ enthalten die Werte $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 10 \end{eqnarray*}$ als Basis.

Somit ist $\begin{eqnarray*} log_{10}(1000)=lg(1000)=3 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 10^3=1000 \end{eqnarray*}$

Daher kannst du auch nicht so einfach $\begin{eqnarray*} ln(4)-ln(3) \end{eqnarray*}$ berechnen. Die werden nämlich transzendent und nicht etwa $\begin{eqnarray*} ln(1) \end{eqnarray*}$

Wie mir scheint, habt Ihr noch nicht sonderlich über den Begriff des Logarithmus gesprochen? Naja, Kopf hoch. Kann ja noch werden! Wink

19.03.2006, 11:52

gugelhupf

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ja. ich weiß jetzt wie es geht. danke.

19.03.2006, 12:22

zweiundvierzig

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Freut mich, Dir geholfen zu haben. smile

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exponential

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