Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Bimmen Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Im Buch "Wahrscheinlichkeitstheorie" von Klenke steht die folgende Aufgabe:

Ein Theater mit n nummerierten Plätzen ist für heute abend ausgebucht und jeder der n wartenden Gäste hat eine Platzkarte. Nacheinander betreten die Gäste den Saal. Der erste Gast ist zerstreut und wählt zufällig einen Platz aus. Jede folgende Person setzt sich auf ihren reservierten Platz, falls der frei ist, und wählt sonst zufällig einen der freien Plätze aus!

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die letzte Person ihren reservierten Platz bekommt?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die k-te Person ihren reservierten Platz bekommt?

Wer kann mir helfen?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Interessante Aufgabe. Ich würde die a) so angehen:

Man betrachtet das Gegenereignis, dass die letzte Person ihren Platz nicht bekommt. Dann muss irgendeine vorherige Person diesen eingenommen haben.

Die Wahrscheinlichkeit, dass dies die erste getan hat, ist .

Damit die zweite Person sich auf diesen Platz setzt, muss sich zunächst die erste Person auf den der zweiten gesetzt haben. Falls dem so ist, setzt sich die zweite Person mit einer Wahrscheinlichkeit von auf den Platz der letzten Person. Insgesamt ist also die Wahrscheinlichkeit, dass die 2te Person sich auf diesen Platz setzt: .

Für die dritte Person gibt es nun schon 2 Möglichkeiten sich auf den Platz zu setzen:

1. Die erste Person hat sich auf den der dritten gesetzt.
2. Die erste Person hat sich auf den der zweiten gesetzt und die zweite auf den der dritten.
Macht

Du kannst dir ja denken wie es weitergeht, das kann man dann letztendlich als Doppelsumme mit Fakultäten und so schreiben.

Ich komme auf und frage mich, ob man das in geschlossener Form schreiben kann verwirrt

Naja geht bestimmt elleganter, aber das war so mein erster Gedanke zu der Aufgabe Big Laugh
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Du kannst dir ja denken wie es weitergeht, das kann man dann letztendlich als Doppelsumme mit Fakultäten und so schreiben.

Da hast du wohl noch nicht weit genug probiert: Für die vierte Person etwa gibt es nicht nur die "Fehlwege"

1 -> 4
1 -> 2 -> 4
1 -> 3 -> 4,

sondern auch

1 -> 2 -> 3 -> 4

Mit so einer Doppelsumme wird das da nichts - letztendlich gibt es für Person insgesamt sogar "Fehlwege".


Lass uns nochmal etwas genauer spezifizieren, wann Person Nr. ihren Platz besetzt vorfindet (dies geschehe mit Wkt. ):

Da gibt es zwei Unterfälle: Entweder sitzt bereits Person auf ihrem richtigen Platz, oder ihrem falschen Platz.
Der ersten Unterfall liefert Wkt-Anteil für (mal genau überlegen, wieso!), der zweite Unterfall hingegen .
Es ergibt sich



zusammen mit Anfangswert dann leicht , insbesondere also .


EDIT: Schreibfehler in Rekursionsformel korrigiert.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
1 -> 3 -> 4


An den hatte ich nicht gedacht unglücklich


Dein Lösungsweg ist mir jetzt klar, allerdings muss ich nochmal darüber nachdenken, wie man von der rekursiven "dann leicht" auf die explizite Darstellung kommt. Naja durch berechnen der ersten paar Glieder kann man natürlich auf die Idee kommen und dann beim einsetzen in die Rekursionsformel beten, dass es klappt Big Laugh

edit: Wenn man schreibt, sieht man es natürlich sofort Forum Kloppe
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, "leicht" ist halt ein kleiner Induktionsbeweis. Augenzwinkern
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