Differentialoperatoren

17.06.2008, 19:12	janb	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialoperatoren Sei $\begin{eqnarray} \Omega \subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ offen. Betrachten Sie die Differentialoperatoren $\begin{eqnarray} \partial:C^1(\Omega) \to C(\Omega) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \partial g := \frac{1}{2} \left(\frac{\partial g}{\partial x} - i \frac{\partial g}{\partial y}\right) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \overline{\partial}:C^1(\Omega) \to C(\Omega) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \overline{\partial} g := \frac{1}{2} \left(\frac{\partial g}{\partial x} + i \frac{\partial g}{\partial y}\right) \end{eqnarray}$ dabei sei $\begin{eqnarray} C^1(\Omega) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} C(\Omega) \end{eqnarray}$ der Vektorraum aller einmal stetig differenzierbaren bzw. aller stetigen Funktionen $\begin{eqnarray} g : \Omega \to \mathbb{C} \end{eqnarray}$ . Sei $\begin{eqnarray} g \in C^1(\Omega) \end{eqnarray}$ Zeige: $\begin{eqnarray} \overline{\partial} g = \overline{\partial \overline{g}} = \overline{\partial g} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \overline{\partial}\overline{g} = \overline{\partial g} \end{eqnarray}$ . Mein einzigstes Problem ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} \overline{\partial g} = \overline{\partial} g \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \overline{\partial g} = \overline{\partial \overline{g}} \end{eqnarray}$ . Ich finde nämlich, dass dies nicht stimmt. Kann mir jemand helfen?
18.06.2008, 11:11	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialoperatoren Wie habt ihr denn die konjugiert komplexe Funktion $\begin{eqnarray} \overline{g} \end{eqnarray}$ definiert? Ich frage deshalb weil $\begin{eqnarray} g\in C^1(\Omega)=C^1(\Omega;\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \Omega\subset \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ ist. Also insbesondere hat g einen reellen Definitions und Wertebereich. Daher könnte man annehmen, dass $\begin{eqnarray} \overline{g}=g \end{eqnarray}$ gelten sollte.
18.06.2008, 20:08	Hilfe_96	Auf diesen Beitrag antworten »
Die letzte Gleichung geht meiner Meinung nicht. Du kannst doch mit nen Gegenbeispiel arbeiten. Man kriegt da leicht einen Widerspruch hin.

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