Orthonormale Basis und Flächeninhalt Parallelogramm

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17.06.2008, 19:44	Nightfall	Auf diesen Beitrag antworten »
Orthonormale Basis und Flächeninhalt Parallelogramm N'Abend zusammen! Ich habe hier eine Aufgabe an der ich verzweifel: Es sei $\begin{eqnarray} v\in\mathbb R^3 \end{eqnarray}$ ein Vektor der Länge 1 und $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ ein weiterer Vektor, der linear unabhängig zu v ist. Beweisen Sie, dass 1.) die Vektoren $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} v\times w \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v\times(v\times w) \end{eqnarray}$ orthogonal sind und 2.) diese Vektoren genau dann eine orthonormale Basis bilden, wenn das von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ aufgespannte Parallelogramm den Flächeninhalt 1 hat. Naja, bei 1 hab ich das einfach mit dem Skalarprodukt nachgerechnet (is ne scheiß Arbeit so nebenbei...), aber bei 2 finde ich den Ansatz nicht. Wenn ich davon ausgehe, dass die Vektoren eine Orthonormalbasis bilden, weiß ich zusätzlich zu 1, dass sie die Länge 1 haben. Aber wie kann mir das helfen, dass das Parallelogramm den Flächeninhalt 1 hat. Ich weiß zwar von Wikipedia, dass der Flächeninhalt des Parallelogramms durch $\begin{eqnarray} \|\|v\times w\|\| \end{eqnarray}$ schon gegeben ist, aber auch nicht warum... Habt ihr irgendwelche Ideen?
17.06.2008, 21:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die ganze Sache hängt davon ab, wie ihr $\begin{eqnarray} v \times w \end{eqnarray}$ definiert habt. Ohne diese Information ist Hilfe unmöglich.
17.06.2008, 21:25	Nightfall	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} v\times w \end{eqnarray}$ ist das Kreuzprodukt zwischen $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ .
17.06.2008, 21:26	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist der Name. Aber was ist die Definition?
17.06.2008, 21:32	Nightfall	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso... Ich dachte das ist irgendwie feststehend. Ok, also sei $\begin{eqnarray} v=\begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w=\begin{pmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} v\times w=\begin{pmatrix}v_2w_3-v_3w_2\\v_3w_1-v_1w_3\\v_1w_2-v_2w_1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ das Kreuzprodukt von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ .
17.06.2008, 21:48	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei 1.) mußt du nur einmal zeigen, daß $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \times y \end{eqnarray}$ orthogonal sind. Dann spezialisieren: $\begin{eqnarray} \text{(a)} \ \ x = v \, , \ \ y = w \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(b)} \ \ x = v \, , \ \ y = v \times w \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(c)} \ \ x = v \times w \, , \ \ y = v \end{eqnarray}$ Welche Formel für den Flächeninhalt $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ eines Parallelogramm ist dir bekannt? Vielleicht $\begin{eqnarray} F = \sqrt{v^2 w ^2 - (vw)^2} \end{eqnarray}$
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17.06.2008, 21:55	Nightfall	Auf diesen Beitrag antworten »
Also 1 hab ich schon hinbekommen... Also ich kenn nur die Formel $\begin{eqnarray} A=a\cdot h_a \end{eqnarray}$ . Aber vielleicht kannst du mir erklären woher deine Formel kommt...
17.06.2008, 22:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeichne ein Parallelogramm $\begin{eqnarray} ABCD \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} v = \overrightarrow{AB} \, , \ \ w = \overrightarrow{AD} \end{eqnarray}$ Es sei $\begin{eqnarray} E \end{eqnarray}$ der Fußpunkt des Lotes von $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} AB \end{eqnarray}$ . Dann betrachte weiter die Vektoren $\begin{eqnarray} v^{} = \overrightarrow{AE} \, , \ \ h = \overrightarrow{ED} \end{eqnarray}$ Es gelten die Gleichungen $\begin{eqnarray} vh = v^{}h = 0 \, ,\ \ (vv^{})^2 = v^2 {v^{}}^2 \end{eqnarray}$ Das erste gilt wegen der Orthogonalität, das zweite wegen der linearen Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v^{} \end{eqnarray}$ (genau begründen). Der Flächeninhalt $\begin{eqnarray} F \geq 0 \end{eqnarray}$ des Parallelogramm ist dann $\begin{eqnarray} F = \|v\|\|h\| \end{eqnarray}$ Nun gilt $\begin{eqnarray} v^2 w^2 - (vw)^2 = v^2 (v^{} + h)^2 - \left( v (v^{} +h ) \right)^2 = v^2 \left( {v^{}}^2 + 2 v^{} h + h^2 \right) - \left( vv^{} + vh \right)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = v^2 \left( {v^{}}^2 + h^2 \right) - \left( vv^{} \right)^2 = v^2 {v^{}}^2 + v^2 h^2 - \left( vv^{} \right)^2 = v^2 h^2 = \|v\|^2 \|h\|^2 = F^2 \end{eqnarray}$
17.06.2008, 22:33	Nightfall	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, deine Formel hab ich jetzt verstanden und weiß woher sie kommt... aber wie kann ich das anwenden? Ich mein über den Vektor $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ weiß ich doch gar nichts, oder? Wenn ich wüßte, dass $\begin{eqnarray} w \end{eqnarray}$ auch die Länge 1 hat, dann wär das ganze ja eher machbar... oder kann ich das zeigen und seh's grad nur nicht? shit zu spät Danke ich werd mir das mal anschauen...
17.06.2008, 22:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist eine reine Fleißaufgabe: Berechne $\begin{eqnarray} v^2 w^2 - (vw)^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \|v \times w\|^2 \end{eqnarray}$ in Koordinaten und vergleiche. Halte nach binomischen Formeln Ausschau, dann wird die Rechnung übersichtlicher.

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