Teilbarkeitsbeweis für die Zahl 5

18.03.2006, 16:44	Heron	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeitsbeweis für die Zahl 5 Hallo Forumler, ich habe zur Zeit einige Probleme im Mathe-Profilkurs, obwohl es sich bei den Beweisen per vollständiger Induktion die wir bisher gemacht haben eher um einfache Sachen gehandelt hat. Wir haben zu nächster Woche folgende Hausaufgabe aufbekommen und ich finde keinen Ansatz: Beweise per v.I. , dass $\begin{eqnarray} 5/ 6^{n} - 1 \end{eqnarray}$ ist. Bis zur Induktionsvorrausetzung habe ich noch alles ganz gut hinbekommen, für Behauptung und eigentlichen Beweis fehlt mir noch die "Idee". Wäre für Tips sehr dankbar, Grüsse, Heron
18.03.2006, 16:47	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
das soll heißen, das 5 jede Zahl der Form 6^n-1 teilt, oder? lies mal, was du geschrieben hast wo hängt es, Induktion steht doch schon da Induktionsanfang? Annahme? ...
18.03.2006, 16:50	Heron	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig, 5 teilt den gegebenen Term. Bisher habe ich als Induktionsanfang einfach für n1=1 eingesetzt. Beim Induktionsschritt habe ich dann gesagt, das das auch für alle n>n1 gilt. Induktionsvorraussetzung wäre wieder $\begin{eqnarray} 5/ 6^{n} - 1 \end{eqnarray}$ und Behauptung müsste ja dann logischerweise $\begin{eqnarray} 5/ 6^{n+1} - 1 \end{eqnarray}$ sein?! Beim Beweis komme ich nicht weiter.
18.03.2006, 16:55	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
Tipp: 5\|(6^n-1) bedeutet: 6^n-1=5r (für ein r aus n) Versuche 6^(n+1)-1 umzuschreiben, dass 6^n-1 vorkommt Tipp: 6^(n+1)=66^n=6^n+.....
18.03.2006, 17:07	Heron	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke für den Tipp. Das wäre dann also folgendermaßen: 6^(n+1) -1 = 6^n 6 -1= 6^(n-1) 6 * 6 -1 Nächste Frage: Was mach ich damit?? EDIT: Reicht es eigentlich nicht zu sagen, dass 6^n *6 -1 und dann das 6^n mit 5r+1 (von 6^n-1=5r) zu substituieren und dann zu sagen, dass also 35r+5 (ausmultipliziert vom eingesetzten) durch 5 teilbar ist? Gruß, Heron
18.03.2006, 17:10	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ne, wieso noch mal 6 abspalten? du willst doch den Ausdruck 6^n-1 bekommen, um die Ind.Ann. nutzen zu können die kriegst du so: -1 ist schon da, was fehlt ist 6^n also zerlegen wir $\begin{eqnarray} 6^{n+1}=66^n=56^n+16^n \end{eqnarray}$ Rest schaffst du aber wirklich! edit: ja geht auch! aber 65=30 nicht 35 auch schön!
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18.03.2006, 17:19	Heron	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist ja mal toll. Danke dir vielmals für die Hilfe. Hätt ich ja auch selbst drauf kommen können, aber ist schon doof wenn man gleich zu Anfang so auf dem Schlauf steht. Grüße und noch ein schönes WE, Heron
18.03.2006, 18:22	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
und um dir noch den Alternativweg zu zeigen: $\begin{eqnarray} 6^{n+1}-1=66^n-1=56^n+6^n-1=56^n+5r \end{eqnarray*}$ offensichtlich durch 5 teilbar ich finde deinen Weg aber sehr elegant. Gern geschehen

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