Sigmaadditivität

18.03.2006, 17:15

Travis

Sigmaadditivität

Hi @ all!

Das ist ein Kreuz mit dem beweisen. Steh momentan vor dem Problem, dies hier zu beweisen:

P(A) = Summe(j=1 bis unendl.) von (P(A und Bj))

Meine Überlegungen hierbei sind:
(anwenden der Sigmaaddivität)

P(Vereinigung(j=1 bis unendl) von(Bj)) * P(A)

für den nächsten Teil hab ich (leider) nur eine verbale Begründung und zwar:
Wenn die Vereinigung gegen undendlich geht kann ich annehmen das die Wahrscheinlichkeit dieser Vereinigung gleich 1 ist udn daraus folgt:

P(A) = 1 * P(A)
--> P(A) = P(A)

Kann man diesen Beweis besser durchführen/erklären (wahrscheinlich so) und wenn ja wie?

Danke

Gruß
Travis

18.03.2006, 18:29

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Zitat:

Original von Travis
Steh momentan vor dem Problem, dies hier zu beweisen:

P(A) = Summe(j=1 bis unendl.) von (P(A und Bj))

Fehlt da nicht eine Voraussetzung über die $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ ? Nämlich, dass diese untereinander disjunkt sind, mit der Vereinigung $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ (= sicheres Ereignis). Ansonsten ist diese Gleichung nämlich i.a. falsch.

Und mit dieser Voraussetzung reicht der Nachweis von

$\begin{eqnarray*} A = \bigcup\limits_{j=1}^{\infty} ~ (A\cap B_j) \end{eqnarray*}$

als disjunkte Vereinigung, und dann benutzt man die Sigmaadditivität des W-Maßes. Letztere lässt sich nicht durch irgendwelche Grenzübergänge beweisen, sie wird axiomatisch gefordert!!! (Axiomensystem von Kolmogorov)

EDIT: Ich sehe gerade oben bei dir, dass du sowas wie $\begin{eqnarray*} P(A\cap B_j)\stackrel{?}{=}P(A)\cdot P(B_j) \end{eqnarray*}$ benutzen willst? Das schlag dir mal aus dem Kopf, dazu benötigst du Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} A,B_j \end{eqnarray*}$ , welche hier nicht vorausgesetzt wird. unglücklich

19.03.2006, 11:17

Travis

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Die Disjunktheit der Teilmengen ist zwar in der Angabe nicht herauszulesen, wird aber meines Erachtens vorausgesetzt.

Dann hoff ich mal ich mach das jetzt richtig und hau nicht schon wieder einen Fehler rein:

$\begin{eqnarray*} P(A) = \sum_{j=1}^\infty ~P(A und Bj) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A = \bigcup_j (A und Bj) = \bigcup_j (A) und \bigcup_j (Bj) \end{eqnarray*}$

Hoffe nal das stimmt soweit oder hab ich schon wieder eine vorschnelle Annahme getroffen.

Hätte nun wieder die verbale Begründung des sicheren Ereignisses von der Vereinigung von BJ und würde nun als Ergebnis A bzw. P(A) herausbekommen.

Was sagt ihr dazu?

Gruß
Travis

19.03.2006, 22:11

Travis

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Eine Antwort wäre furchtbar nett,

Danke
Travis

20.03.2006, 01:03

Ben Sisko

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Zitat:

Original von Travis
$\begin{eqnarray*} A = \bigcup_j (A und Bj) = \bigcup_j (A) und \bigcup_j (Bj) \end{eqnarray*}$

Wenn du deine "und"s noch durch $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ ersetzt, ist's ok. (dass $\begin{eqnarray*} \bigcup_j (A)=A \end{eqnarray*}$ ist klar, oder?)

Gruß vom Ben

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