Monotonie

18.03.2006, 18:20

Kira 007

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Monotonie

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit der Monotonie, leider hatte ich bisher aber noch nichts damit zutun.

wie kann ich z.B das Monoton Verhalten einer Funktion 3x+1 erkennen bzw. beweisen.

ich habe das so in meinem Heft stehen, leider kapiere ich nur Bahnhof.

$\begin{eqnarray*} f (x)= 3x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x1)=3*x1+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x2)=3*x2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=x1+h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1<x2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x1)< f(x2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+1< 3x2+1/-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x1< 3x2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x1< 3 (x1+h)/:3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1< x1+h/-x1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<h \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

18.03.2006, 18:45

aRo

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nun ich würde sagen, dass sie monoton steigt für alle x.

denn die Ableitung ist 3 und 3 ist immer positiv.

aRo

18.03.2006, 18:50

JochenX

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es gibt hauptsächlich 2 Methoden, (streng) monotones Steigen zu bestimmen (fallen analog)

f'(x)>0 für alle x bedeutet strenges monotones steigen
f'(x)>=0 reicht noch für monotones steigen

alternativ muss für alle h>0 und alle x gelten:
f(x+h)>(=)f(x) <=> f(x+h)-f(x)>(=)0

setz dich mit PG zusammen: Monotonieverhalten

18.03.2006, 18:53

Kira 007

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RE: Monotonie

Zitat:

Original von Kira 007
Hallo zusammen,

ich beschäftige mich gerade mit der Monotonie, leider hatte ich bisher aber noch nichts damit zutun.

wie kann ich z.B das Monoton Verhalten einer Funktion 3x+1 erkennen bzw. beweisen.

ich habe das so in meinem Heft stehen, leider kapiere ich nur Bahnhof.

$\begin{eqnarray*} f (x)= 3x+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x1)=3*x1+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x2)=3*x2+1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x2=x1+h \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1<x2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x1)< f(x2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+1< 3x2+1/-1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x1< 3x2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x1< 3 (x1+h)/:3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x1< x1+h/-x1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0<h \end{eqnarray*}$

Gruß Kira

18.03.2006, 18:56

JochenX

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soso, schöne Art auf einen edit hinzuweisen

etwas seltsame Reihenfolge; hattest du schon dfferenzieren (ja ich erinnere mich an Wurzelqualen....)?
ansonsten:
betrachte h>0
und bilde dann die Diff. von f(x+h) und f(x); die ist 3h

es gilt also: wenn du von einem beliebigen Punkt h nach rechts gehst, gehst du 3h nach oben
=> strenge Steige-Monotonie

noch schneller über ableiten:
f'(x)=3>0 für alle x => strenges monotones steigen

18.03.2006, 19:04

Kira 007

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was bedeutet das h überhaupt, bzw für was steht es.

Gruß Kira

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18.03.2006, 20:17

JochenX

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x und x+h; x ist ein beliebiger x-wert, da h beliebig größer 0 steht x+h also einfach für einen beliebigen Wert, der GRÖßER als x ist

18.03.2006, 20:49

Kira 007

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OK, danke LOED,

ich denke mal bevor ich so einen Beweis über Monotonie machen kann brauche ich ersteinmal Grundlagen über die Monotonie.

Ich habe mir das z.B einmal angesehen:

$\begin{eqnarray*} f x1)<f(x2) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend
$\begin{eqnarray*} f(x1)>f(x2) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend

Eine streng monoton fallende bzw. steigende Funktion wird nur größer oder kleiner aber nie konstant

$\begin{eqnarray*} f(x1)\geq f(x2) \end{eqnarray*}$ monotol fallend

$\begin{eqnarray*} f(x1)\leq f(x2) \end{eqnarray*}$ monoton steigend
Eine monoton steigend Funktion bzw. fallende wird nur größer oder ist konstant.

oder muss ich sonst NOCH ETWAS WISSEN; DANN SCHAUE ICH MIR DAS VOHER AN:

Gruß kira

18.03.2006, 21:28

JochenX

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du musst auch noch sagen, wie x1,x2 zusammanhängen!

für x1<x2 gilt was völlig anderes als für x2<x1.

19.03.2006, 10:54

Kira 007

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Ja das ist schon klar das diese beiden sachen etwas vollkommend anders darstellen.

wenn f(x)x1<f(x)x2 streng monoton steigend ist

ist dann f(x)x2<f(x)x1 streng monoton fallend ?

ich weiß nicht, oder ist das schwachsinn!!

Gruß Kira

19.03.2006, 13:24

mercany

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Zitat:

Original von Kira 007
Ja das ist schon klar das diese beiden sachen etwas vollkommend anders darstellen.

wenn f(x)x1<f(x)x2 streng monoton steigend ist

ist dann f(x)x2<f(x)x1 streng monoton fallend ?

Wie gesagt, dass kommt darauf an, in welchem Zusammenhang $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ zueinander stehen.

Für $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$ bedeutet

$\begin{eqnarray*} f(x_1) < f(x_2) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend
$\begin{eqnarray*} f(x_2) < f(x_1) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend

Für $\begin{eqnarray*} x_1 > x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1) < f(x_2) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend
$\begin{eqnarray*} f(x_2) < f(x_1) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend

Gruß, mercany

19.03.2006, 14:01

Kira 007

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OK dann war meine Vermutung allso richtig!!!

Aber wie gehe ich jetzt bei meinem Monotoniebeweis am besten vor, bzw wie fange ich an ?

Oder besser gesagt was wäre der beste Einstieg in das Thema Monotonie, denn ich hatte ja bisher noch nichts damit zu tun.

Gruß Kira

19.03.2006, 14:07

mercany

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LOED hat dir doch schon Monotonieverhalten als Tipp gegeben.

PG hat genau das dort erklärt bekommen.
Lies dir den Thread doch einfach mal durch und wenn du Fragen hast, stelle sie!

Gruß, mercany

19.03.2006, 14:30

Kira 007

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Danke Mercany!!

Habe mir den Thread einmal durchgelesen, was ich auch nicht ganz verstehe ist die Sache mit dem (x+h) wofür ich das einsetze, bzw warum ich das einsetze.

was es bedeutet hat mir LOED schon erklärt!!

Wir können als Beispiel einfach mal eine Lineare Funktion nehmen, damit ich ersteinmal die Grundzüge verstehe

$\begin{eqnarray*} f(x)=3x+1 \end{eqnarray*}$

Nur anhand der Funktion erkenne ich z.B nicht ob sie monoton fallend oder steigend ist.

Gruß Kira

19.03.2006, 14:47

mercany

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Okey, hierbei ist die Sache doch gar nicht sehr schwer.

Um was für eine Art von Funktion handelt es sich denn bei deiner?

Gruß, mercany

19.03.2006, 14:48

Kira 007

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Um eine Lineare Funktion 1. Grades

Gruß Kira

19.03.2006, 14:49

mercany

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Okey, und welche Steigung besitzt diese Funktion? Und was ist das besondere bei einer Geraden in Punkto Steigung?

19.03.2006, 14:57

Kira 007

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Kann ich die Steigung auch nur anhand der Funktion berechnen.

Brauche ich da nicht zwei Werte Paare.

y2-y1
____
x2-x1 um die zu berechnen

19.03.2006, 15:02

mercany

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Die Steigung einer Funktion an einer Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wird bestimmt durch die erste Ableitung. Noch genauer: Du legst an dieser Stelle eine Tangente an den Graphen und berechnest dessen Steigung.

Die Ableitung sollte dir doch ein Begriff sein, oder?

Mit den Zahlenpaaren hast du recht. So könntest du das bei dieser Funktion machen. Aber warum? Du kannst die Steigung doch schon ablesen.

Außerdem mach dir klar, was die Steigung einer Geraden gilt!

Gruß, mercany

19.03.2006, 15:06

Kira 007

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Stimmt jetzt wo Du das so sagst fällt mir das wieder ein.

Die Steigung der Funktion müsste dann sein.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=3 \end{eqnarray*}$

was gilt den Grundsätzlich für die Steigerung einer Geraden ?

Bei Linearen funktionen muss ich ja dann Grundsätzlich nur die Ableitung bilden um die Steigung an der stelle Null zu erhalten.

Ableitungen sind mir ein Begriff

19.03.2006, 17:32

Kira 007

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Aber wie Beweise ich nun die monotonie ?

Gruß Kira

19.03.2006, 17:34

JochenX

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Zitat:

Original von LOED
f'(x)>0 für alle x bedeutet strenges monotones steigen
f'(x)>=0 reicht noch für monotones steigen

3>0

19.03.2006, 17:42

Kira 007

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Ok, vielen Dank LOED

das ist dann mit Hilfe der Ableitung wohl recht einfach!!!

Aber komme nun auf meinen Beweis aus der Schule zurück

da hatte ich ja auch $\begin{eqnarray*} f(x)=3x+1 \end{eqnarray*}$

das ist wohl um einiges umständlicher oder.

f'(x)>0 für alle x bedeutet strenges monotones steigen
f'(x)>=0 reicht noch für monotones steigen

sind das nur Bedingungen die gelten wenn ich die Monotonie mit Hilfe der Ableitung bestimme ?

Gruß Kira

19.03.2006, 19:09

mercany

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Ja, natürlich gilt diese Bedingung nur in Zusammenhang mit der ersten Ableitung. Denn wie gesagt, liefert dir diese die Steigung deiner Funktion.

Zitat:

was gilt den Grundsätzlich für die Steigerung einer Geraden ?

Mensch Kira. Gehirn einschalten!

Die Steigung einer Geraden ist doch für alle Werte gleich!

Gruß, mercany

19.03.2006, 19:33

Kira 007

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Ok

ich mache morgen weiter

Gruß Kira

20.03.2006, 15:35

Kira 007

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f'(x)>0 für alle x bedeutet strenges monotones steigen
f'(x)>=0 reicht noch für monotones steigen

das sind ja die beiden Bedinungen die gelten wenn eine Funktio streng monoton oder monoton steigt!!

wie würden die Bedingungen aber lautet wenn eine Funktion streng monoton fällt oder monoton fällt.

Frage lieber nocheinmal nach denn ich möchte dabei ungerne raten.

monotonie fallend müsste sein

f'(x)<0 monotones Fallen
f'(x)=? streng monotones fallen

Gruß Kira

20.03.2006, 19:00

mercany

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Zitat:

Original von mercany
Wie gesagt, dass kommt darauf an, in welchem Zusammenhang $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ zueinander stehen.

Für $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$ bedeutet

$\begin{eqnarray*} f(x_1) < f(x_2) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend
$\begin{eqnarray*} f(x_2) < f(x_1) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend

Für $\begin{eqnarray*} x_1 > x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x_1) < f(x_2) \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend
$\begin{eqnarray*} f(x_2) < f(x_1) \end{eqnarray*}$ streng monoton steigend

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