weitere Grenzwertaufgaben

17.06.2008, 22:53

hyperbel

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Hallo, Leute.
Komischerweise behandeln meine Fragen immer Grenzwerte, weil ich die/oder die mich irgendwie nicht leiden kann/können.

Ich hab vier Aussagen, dei ich beweisen soll oder auf Ungültigkeit überprüfen soll.

Ich stelle die Fragen erstmal hier rein:

$\begin{eqnarray*} 1. Wenn \lim_{n \to \infty} a_n= \infty \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n}= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2.Wenn \lim_{n \to \infty} a_n= -\infty \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} e^{a_n}=0 \end{eqnarray*}$

Also bei 1 weiß ich, dass es gilt. Bei 2 auch, aber ich weiß echt nicht wie ich das zeigen soll. Könnt ihr mir bitte helfen, ich verzweifle grad voll traurig

17.06.2008, 22:57

therisen

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Schau dir einfach die Definition an und zeige, dass sie erfüllt ist. Das ist bei 1) wirklich äußerst einfach.

PS: Man sollte $\begin{eqnarray*} a_n\neq0 \end{eqnarray*}$ fordern.

17.06.2008, 23:08

tmo

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2. kann man übrigens leicht auf 1. zurückführen.

17.06.2008, 23:25

hyperbel

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Zitat:

Original von therisen
Schau dir einfach die Definition an und zeige, dass sie erfüllt ist.

Es wäre nett, wenn du dich etwas deutlicher Ausdrücken könntest...Verstehe mich nicht falsch, aber einfach hinschreiben: "Schau dir die Def an, dann wirst du es verstehen!" ist keine große Hilfe.

Ich hab mir zum Glück nicht nur die Definitionen angesehen, sondern auch viel im Netz dazu gelesen, jedoch kann ich es nicht...deshalb wende ich mich ja an euch. Da würde ich mich über konstruktivere Antworten und Hilfe mehr freuen Augenzwinkern

17.06.2008, 23:36

tmo

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Die Definition ist doch, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} K \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} a_n > K \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ gilt.

Nun betrachtest du ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ und wählst $\begin{eqnarray*} K = \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$

17.06.2008, 23:48

hyperbel

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Hm...ich verstehe nicht ganz die Definition...was ist denn K?

18.06.2008, 13:21

tmo

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K ist eine beliebige (hohe) Schranke, die von der Folge überschritten wird.

18.06.2008, 16:14

hyperbel

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So, hab mit euren Tipps und den Tipps meiner Kommillitonen gezeigt, dass 1. und 2. gültig sind.(und 2. aus 1 gefolgert werden kann...)

Ich soll in der nächsten Aufgabe zeigen, dass es auch umgekehrt wie aufgabe 2 geht, also
wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} e^{a_n } = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n = -\infty \end{eqnarray*}$ ...

wie kann ich es denn aus aufgabe 2 heraus sagen, dass es auch umgekehrt geht?

Ich kann es ja artgumentativ aus Aufgabe 2 folgern, nur fällt mir nicht ein, wie... unglücklich

18.06.2008, 16:45

tmo

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Beweis durch Widerspruch:

Zeige z.b. zunächst ein etwas allgemeineres Resultat: Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_n \neq -\infty \end{eqnarray*}$ , so hat $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine nach unten beschränkte Teilfolge $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ .

Sei s eine untere Schranke von $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ . Aus $\begin{eqnarray*} b_n \geq s \end{eqnarray*}$ folgt dann $\begin{eqnarray*} e^{b_n} \geq e^s > 0 \end{eqnarray*}$ , woraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} e^{b_n} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge ist. Demnach ist $\begin{eqnarray*} e^{a_n} \end{eqnarray*}$ auch keine.

18.06.2008, 21:28

hyperbel

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hallo...wieder habe ich eine aufgabe zu grenzwerten...ich hab zwar ne lösung weiß aber dass sie falsch ist...könntet ihr bitte sagen, wo meine fehler sind?

Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} (\frac {n²}{e^n} ) \end{eqnarray*}$ ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist.

Mein Lsgweg:
Ich hab mir gedacht, ine Folge ist monoton fallend, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}<=a_n \end{eqnarray*}$
So...das habe ich soweit umgeformt und bin am Ende zu einer quadratischen Ungleichung gekommen. Da dachte ich mir, ich kann ja die pq-formel benutzen...ein n herausfinden (das andere würde wegfallen, weil es negativ wäre) und sagen, dass ab diesem n die Folge monoton fallend sei. Ich hatte für n=1 heraus...Leider hab ich die Folge mal geplottet und gesehen, dass es erst ab n=2 monoton fällt.

So...was habe ich falsch gemacht oder ist mein Lösungsansatz falsch? Mir fällt sonst kein anderer Ansatz ein und das blöde ist, dass ich das zeigen muss unbedingt, denn in der darauffolgenden Aufgabe muss ich durch Vergleich der obigen Folge zeigen, dass (n/e^n) eine Nullfolge ist...und ohne den jetzigen beweis geht das danach niht
Bitte helt mir traurig

18.06.2008, 22:16

tmo

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$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{e^n} - \frac{(n+1)^2}{e^{n+1}} = \frac{en^2-(n+1)^2}{e^{n+1}} > \frac{2n^2-(n+1)^2}{e^{n+1}} \end{eqnarray*}$

Wie du nun den Zähler nach unten gegen 0 abschätzen kannst, habe ich dir hier schon gezeigt. Hier ist es aber sogar noch einfacher.

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