Vektorrechnung im Würfel

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19.03.2006, 11:47	cruzzzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vektorrechnung im Würfel Moien. Ich habe ein (für mich) unlösbares MatheProblem. Dabei klingt die Aufgabe relativ einfach: Gegeben seien 3 Eckpunkte eines Würfels: A(1/2/2) B(2/1/-2) C(2/-2/1) Bestimmen soll ich jetzt die anderen 5... Also ich bin jetzt soweit das die Beträge der Vektoren zwischen den Punkten alle gleich lang sind [18^(1/2)=Flächendiagonale]. Außerdem bilden die 3 Vektoren ein gleichseitiges Dreieck (60°). Naja die Kantenlänge des Würfels is denn 3, die Raumdiagonale 27^(1/2) Aber an Hand der Koordinaten sieht man ja schon das der Würfel völlig schief im Raum liegen muss. Ich kann mir diesen Würfel einfach nicht vorstellen und habe nach 2 gescheiterten Lösungsversuchen (1mal 3 Gleichungen mit 4 Variablen, 1mal 9 Gleichungen mit 9 Variablen) aufgegeben... Hülfe
19.03.2006, 12:15	hxh	Auf diesen Beitrag antworten »
Punkt D auszurechnen sollte ja kein Problem sein. $\begin{eqnarray} \vec{OD}= \vec{OC}+ \vec{BA} \end{eqnarray}$ Nun eine Ebene bilden (also Ebene die durch diese 4 Punkte geht). Wie du richtig sagst die Kantenlänge ist Wurzel18. Mit dem Normalenvektor der Ebene der auf 1 normiert wird kann man nun mit Hilfe der Kantenlänge einen der oberen Punkte berechnen zb. E. wenn man diesen Punkt hat ist es auch schon so gut wie gescahfft
19.03.2006, 12:16	babelfish	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektorrechnung im Würfel => verschoben!
19.03.2006, 14:31	cruzzzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Das geht ned, weil 2 der Eckpunke in einer Ebene liegen, der dritte aber in der gegenüberliegenden Ebene...
19.03.2006, 15:25	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Erkenntnisse im Originalbeitrag sind alle richtig, hinzuzufügen wäre noch, dass jeweils zwei der drei Punkte $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ Diagonalenendpunkte einer Würfelseitenfläche sind. Im übrigen ist der Würfel dann durch diese Angaben nicht eindeutig festgelegt: Es gibt zwei mögliche Würfel im Raum, die diesen Bedingungen genügen. Du könntest folgendermaßen vorgehen: $\begin{eqnarray} A,B,C \end{eqnarray}$ sind jeweils über eine Würfelkante mit einem vierten Würfeleckpunkt $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ verbunden. Zusammen bilden $\begin{eqnarray} ABCD \end{eqnarray}$ ein Tetraeder mit gleichseitiger Grundfläche $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ der Seitenlänge $\begin{eqnarray} \sqrt{2}a \end{eqnarray}$ und Spitze $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ . Die Kanten zur Spitze haben alle die Länge $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , daraus kannst du die Höhe des Tetraeders bestimmen und weißt außerdem noch, dass die Spitze $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ aus Symmetriegründen genau senkrecht über dem Schwerpunkt $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ der Grundfläche $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ steht. Das alles rechnerisch formuliert sollte dir die Berechnung von $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ ermöglichen, der Rest des Würfels ergibt sich dann ganz schnell. Und wieso zwei Lösungen? Nun ja, $\begin{eqnarray} D \end{eqnarray}$ kann ja "oberhalb" und "unterhalb" von $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ liegen... Vielleicht geht's auch schneller, aber das will mir momentan nicht einfallen.
19.03.2006, 15:44	cruzzzi	Auf diesen Beitrag antworten »
darauf wäre ich im Leben nicht gekommen... Also erstmal danke dafür!!! Jetzt muss ich mir nur noch Gedanken darüber wie das Teil im Raum liegt. Also wo im Raum die 3 Punkte sind und dann müsste es ja klappen
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19.03.2006, 16:30	cruzzzi	Auf diesen Beitrag antworten »
jetzt hab ich doch noch ein Problem. Hab jetzt $\begin{eqnarray} S \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ bestimmt, und auch den Betrag der Höhe. Aber das nützt mir ja gar nix, da ich ja den Höhenvektor brauche
19.03.2006, 17:06	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Höhenvektor steht senkrecht auf der Dreiecksebene von $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ , seine Richtung kann z.B. durch das Vektorprodukt $\begin{eqnarray} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \end{eqnarray}$ bestimmt werden.
19.03.2006, 17:41	cruzzzi	Auf diesen Beitrag antworten »
jo. Fiel mir dann auch ein. sinus 90°=1 Hab jetzt auch alle Punkte rausbekommen. Vielen vielen Dank nochmal

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