2. Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion ?

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matcrack Auf diesen Beitrag antworten »
2. Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion ?
Hi Leute.

Ich brauche Eure Hilfe wie ich die 2. Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion bilde. Ich weiß, dass ich für die 1. Ableitung die Quotientenregel nehmen muss, also



Das ist auch alles kein Problem, aber bei der 2. wird's schwierig. Die Quotientenregel scheint hier nich zu ziehen.

Hier ist die Teilaufgabe, die ich gerade versuche, zu lösen:

Zitat:

AUFGABE

Gegeben ist die Kurvenschar mit der Gleichung



t soll eine reelle Zahl (R) sein, die nur positiv und nicht Null sein darf.

a) Zeige, dass die Kurvenschar folgendene Ableitungen hat:






So, die 1. Ableitung kann ich ganz einfach zeigen, indem ich die Formel ft(x) mit der Quotientenregel (siehe oben) ableite.



Die Ableitung von ist Null, da der ganze Ausdruck nur eine Zahl ohne x ist, weil man für t irgendeine Zahl einsetzen kann. Und die Ableitung einer Zahl ergibt ja immer Null.

Die Ableitung von 8 ist natürlich auch Null, die Ableitung von ist , und somit hab ich dann oben nur stehen und das sind . Der Ausdruck im Nenner wird laut Quotientenregel nur quadriert. Damit hab ich also die erste Ableitung rechnerisch gezeigt.

So, und jetzt zu meinem Problem. Wie zeig' ich die 2. Ableitung??? Zum Glück kann man das hier nachkontrollieren, weil ich ja schon die 2. Ableitung dort in der Aufgabe stehen hab. Aber wie komme ich dahin ?

Wie gesagt, ich hab wieder die Quotientenregel genommen, erhalte aber nicht das gleiche Ergebnis wie in der Aufgabe. Ich hab's einmal mit ft'(x) versucht und sogar mit ft(x). Ausserdem hab ich versucht, die Quotientenregel anzupassen an die 2. Ableitung, also f'(x) durch f''(x) und g'(x) durch g''(x) ersetzt. Das hat aber auch nicht gefunzt.

Weiß absolut nicht wie ich von der 1. Ableitung auf die 2. komme. Kann mir hier einer weiterhelfen? verwirrt
server01 Auf diesen Beitrag antworten »

Na wenn du soweit bist, solltest du auch die 2. Ableitung richtig berechnen können. Du stehst sicher kurz davor !

Hast du auch das Nachdifferenzieren nicht vergessen ?
Dann solltest du erhalten :

matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso nachdifferenzieren????? Ich differenziere, also leite immer nur jeweils einmal ab, oder nicht? Verwirr' mich bitte nicht. Die Lösung ist bestimmt ganz einfach.

Ach und ich glaub' da stimmt was an deiner Formel nicht. Schau noch mal bitte in die Aufgabe. Da muss hoch 3 nach der KLammer im Nenner rauskommen und nicht hoch 4. Die Aufgabe ist übrigens aus einer Klausur der 13. Klasse, also kannst du den Ergebnissen dort schon vertrauen.

Scheinst dich vielleicht verrechnet zu haben. Keihne Ahnung. Wenn ich jetzt das interpretieren soll, was du in deinem Zähler und Nenner stehen hast, gehe ich davon aus, dass die Regel für die 2. Ableitung folgendermaßen lauten könnte:



Keine Ahnung, was du da für eine Formel anwendest und ob die richtig ist, aber da kommt nicht das Ergebnis der Aufgabe raus, wie man sehen kann.

Bitte nochmal im Klartext. Wie lautet die Regel für die 2. Ableitung und wie geht das nachdifferenzieren ?

Ach und nur nebenbei erwähnt, um Verwirrung zu vermeiden: ich kenn mich mit gebrochen rationalen Funktionen nicht so aus. Ich kann wie gesagt nur die 1. Ableitung. Und ich hab nur den Aufgabenzettel der KLausur, nicht aber die Lösung. Kann mir also leider nicht die Rechenwege anschauen. Ist auch nur eine Musterklausur als Beispiel, die uns mal unser Lehrer gegeben hat.
Eisloeffel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von server01




Also die erste Ableitung wurde mit der Quotientenregel abgeleitet. Und somit entsteht nicht gekürzt und zusammengefasst die oben bestehende Gleichung

also wenn du das ganze nun kürzt und Zusammenfasst kommst du auf das gewünschte Ergebnis

Schreibe dir das mal schnell auf:



kürze nun

bekommst du das Ergebnis:



Fasse den Zähler zusammen und du erhälst das Ergebnis:






MfG Eisi

PS.: Du kannst also solange differentieren bis es nicht mehr geht. Sprich wenn du eine zweite Ableitung brauchst, differenzierst du einfach die erste Ableitung. Brauchst du die dritte Ableitung differnezierst du die zweite... und so weiter. Und eben immer mit den dir bekannten Differenzierregeln
server01 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du das verwirren nennst, dann würde ich dir raten vielleicht mal das Bruchrechnen zu wiederholen oder in der Unterstufe Anleihen zu nehmen, dann kommt man mit solchen "Problemen " auch klar
Eisloeffel Auf diesen Beitrag antworten »

Naja manche können aber auch einfach mal auf der Leitung stehen, sowas soll ja vorkommen. Augenzwinkern

Achso falls du wirklich auf der Leitung stehen solltest , kurz die Erklärung wie server01 auf sein Ergebnis kommt

du leitest nach Quotientenregel ab, also nach

somit ist und

leitest du dies nun abe nach der oben genannten Formel kommst du auf das Ergebnis von Server01 und mit meinem kürzen und zusammenfasen auf das Endergebnis!
Vergiss aber die innere Ableitung bei g(x) nicht ;-)
 
 
matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eisloeffel

Schreibe dir das mal schnell auf:



kürze nun

bekommst du das Ergebnis:



Fasse den Zähler zusammen und du erhälst das Ergebnis:






Alles richtig, schön und gut. Aber ich versteh' trotzdem noch nicht wie du kommst auf



Wie hast du diesen Ausdruck/Ausgangsformel erhalten, in welche Regel/Formel hast du was eingesetzt??? DAS ist hier die Frage. Wenn ich das nicht weiß, nützt mir der Rest nicht, weil ich erst gar nicht so weit kommen kann.

Zitat:
Sprich wenn du eine zweite Ableitung brauchst, differenzierst du einfach die erste Ableitung. Brauchst du die dritte Ableitung differnezierst du die zweite... und so weiter. Und eben immer mit den dir bekannten Differenzierregeln


Klingt vernünftigt. Das habe ich mir auch am Anfang überlegt. Ich nehme einfach die Quotientenregel und modifiziere sie um eine Generation höher, wenn man so will. Das würde ich dann so schreiben:




Ok, mal in diese Formel einsetzen und schauen...



Hmm, also so einfach mit der Modifikation der Quotientenregel scheint das wohl doch nicht zu sein. Da muss es noch etwas wie einen Zwischenschritt geben oder so. Ich werd das Ding noch knacken....... *grübel*

Wie du siehst, weiß ich immer noch nicht wie du auf deine Ausgangsformel kommst. Der Rest ist mir klar: kürzen, zusammenfassen und fertig. Aber dazu muss ich wissen, wie man die Ausgangsformel bekommt, die man dann kürzen und zusammenfassen kann.

Ich hoffe, das klang jetzt nicht unverständlich von mir. Ich kapier' diesen einen Schritt einfach nicht. Den müsstest du mir schon genauer erklären.
matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
du leitest nach Quotientenregel ab, also nach

somit ist und

leitest du dies nun abe nach der oben genannten Formel kommst du auf das Ergebnis von Server01 und mit meinem kürzen und zusammenfasen auf das Endergebnis!
Vergiss aber die innere Ableitung bei g(x) nicht ;-)


Oh warte mal, ahahaaajaja. Sehr clever, diese Variante hab ich noch nicht probiert. Alternierend also. Statt f'(x) jetzt also g'(x).

Hmm, mal schauen und einsetzen... moment...
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matcrack
...

(8x^7) .... das ist falsch

Ich kapier' diesen einen Schritt einfach nicht. Den müsstest du mir schon genauer erklären.

... das muss 2*(x^2+3t^2)^1 *2x^1 heißen

...
matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

Yo, Eisloeffel. Du hast es! :]

Ich setze in die von dir genannte, modifizierte Quotientenregel ein und erhalte:



So, genau. Das ist das Ergebnis was server01 geschrieben hat, nur er hat es in einer anderen Reihenfolge geschrieben. Ich hab das jetzt streng nach der Reihenfolge in der Quotientenregel gemacht.

Ok, alles klar und vielen Dank! Also hier die beiden Quotientenregeln, vereinfacht für alle zum Mitschreiben:

Zitat:

Quotientenregel für 1. Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion

Definition :

Ableitung :

Quotientenregel für 2. Ableitung einer gebrochen rationen Funktion
(alternierend zur ersten)

Definition :

Ableitung :


Wie man hier sehr schön sehen kann, verhält sich die 2. Quotientenregel alternierend (=abwechselnd/vertauschend) zur ersten. Die Ausdrücke vor und hinter dem minus werden einfach vertauscht. Eine Variante, an die ich so vorher nicht gedacht habe. Ich dachte eher, mach aus dem a' ein a'' und aus den b' ein b'' oder verstausche a und b usw.. Aber das war's nicht.

Sehr schön. Vielen Dank nochmal für Eure Hilfe!

Fragt sich jetzt nur wie die Quotientenregel für die 3. Ableitung lautet. Vielleicht muss man dann sie wieder bilder, indem man die letzte, also die 2. Quotientenregel, alterniert und immer so weiter, wer weiss. Augenzwinkern

Vielleicht ist das ja das System der Quotientenregel und man kann so Ableitungen bis zum gehtnichtmehr bilden. Leider kann ich das nicht mehr weiter checken, weil ich ja auch keine Lösungen dafür hab, mit denen ich die Kontrolle machen könnte. Und ich möchte ja schliesslich nicht irgendwelche Regeln aufstellen, die falsch sind.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

...
Nur, deine Ableitung ist immer noch falsch ...
oder hast nur versehentlich was falsch niedergeschrieben.


Tipp, merk dir nicht zuviele Regeln das führt dich nur ins
Abseits. Entweder du kannst das OHNE Regel sozusagen aus
der Luft heraus, oder du lässt es besser bleiben.


Diejenigen die solches richtig Anwenden haben in aller Regel
KEINE Regel dafür sondern generieren das ja nach Bedarf
und Praktikabilität sozusagen aus dem Nichts heraus.


smile
matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
...
Nur, deine Ableitung ist immer noch falsch ...
oder hast nur versehentlich was falsch niedergeschrieben.


Die ist schon richtig und gleich der von server01, nur in einer anderen Reihenfolge und mit ein paar * mehr und eckigen Klammer. Schau sie dir nochmal genau an. Ich hab's getan und kann keinen Fehler sehen. Sieht alles korrekt aus von meiner Insel hier.

Zitat:
Tipp, merk dir nicht zuviele Regeln das führt dich nur ins
Abseits. Entweder du kannst das OHNE Regel sozusagen aus
der Luft heraus, oder du lässt es besser bleiben.


Quatsch. Du mußt nicht jede einzelne Quotientenregel kennen, um abzuleiten, da sie ja wie ich schon gezeigt habe, alternierend sind, und du nur die 1. Quotientenregel kennen mußt, um die 2., die 3., die 4. usw zu kennen. Aber OHNE irgendwelche Regeln und Formeln geht in der Mathematik nichts! Das hast du falsch gesagt. Du kannst nicht irgendwas aus der Luft heraus berechnen, wenn du nicht weißt wie. Klingt logisch, nicht wahr.

Zitat:
Diejenigen die solches richtig Anwenden haben in aller Regel
KEINE Regel dafür sondern generieren das ja nach Bedarf
und Praktikabilität sozusagen aus dem Nichts heraus.


Aber sie kennen das System nicht, was dahintersteckt, und machen es sich somit schwerer als nötig, auch wenn es ihnen leicht zu gehen scheint. Klar, die können aus dem Schlaf ableiten und so. Ich brauch das nicht. Ich such mir einfach das System, das Gesetz welches hinter dem Ableiten von gebrochen rationalen Funktionen steckt und setze dann einfach in eine allgemeine Formel ein, die ich mir vorher aufgrund von Experimenten zusammengebastelt hab. Diese Formel spuckt mir dann alle Ableitungen aus, die ich will, die 1., die 2., die 3. die 4. usw. Das ist quasi auch "aus der Luft heraus", aber eine Stufe leichter. Ich brauch nur die eine Regel zu kennen und weiß automatisch alle anderen ohne sie überhaupt aufzuschrieben oder darüber nachzudenken.
matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wagen wir mal ein kleines Experiment bevor ich pennen gehe. Is ja auch schon nach 3 Uhr nachts. Hmm..

Also, angenommen die Quotientenregel alterniert immer. Dann müsste doch die Quotientenregel für die 3. Ableitung logischerweise folgend lauten:

Zitat:
Definition:

Basis:

Ableitung:
(alternierend zur 2. Qr)


Ok, also nochmal meine Basisfunktion für die dritte Qr:

Zitat:


Jetzt in Qr3 einsetzen:

Zitat:


Jetzt kürzen...uuuh, das ist haarig. Hoffentlich kürz ich den ganzen Mist jetzt richtig hier:

Zitat:


Sooo, ich hoffe das ist richtig gekürzt. Also jetzt nur sauber hinschreiben und noch den Rest kürzen:

Zitat:
3. Ableitung von ft(x)



Voila! Also wenn das tatsächlich die 3. Ableitung dieser Scharfunktion ft(x) ist und ich jetzt hier keinen Quatsch fabriziert hab (schon komisch mit der hoch 3 im Nenner, das hatte die 2. Ableitung schon), dann geht die 4. Ableitung, indem man die 3. Qr wieder alterniert, die ft'''(x) als Basis nimmt und einsetzt. Und das ganze Spiel geht dann so weiter nach gleichen System/Prinzip.

Yo! Wenn nicht heute, dann knacken wir das System eben an einem anderen Tag, nich wa. Augenzwinkern

Gute Nacht.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von matcrack
...
Die ist schon richtig und gleich der von server01, nur in einer anderen Reihenfolge und mit ein paar * mehr und eckigen Klammer. Schau sie dir nochmal genau an. Ich hab's getan und kann keinen Fehler sehen. Sieht alles korrekt aus von meiner Insel hier.


Nein sie ist falsch !! X(




Zitat:
Original von matcrack
Yo, Eisloeffel. Du hast es! :]



So, genau. Das ist das Ergebnis was server01 geschrieben hat, nur er hat es in einer anderen Reihenfolge geschrieben. Ich hab das jetzt streng nach der Reihenfolge in der Quotientenregel gemacht.

das ist deine FALSCHE



und hier die RICHTIGE von server01

Zitat:
Original von server01
...




X(





Zitat:
Original von matcrack
Ok, wagen wir mal ein kleines Experiment bevor ich pennen gehe. Is ja auch schon nach 3 Uhr nachts. Hmm..
...
...
Jetzt in Qr3 einsetzen:


...

... ich hab dir doch gesagt lass es sein, ist nämlich wieder falsch


So gehts richtig:

f'''=[96*x*(x²+3t²)^3 - 288*(x²-t²)*(x²+3t²)²*x]*(x²+3t²)^-6


smile
Eisloeffel Auf diesen Beitrag antworten »

So matcrack ganz langsam und von vorne okay? Es ist nicht so schwer, wie es aussieht. Also du die Quotientenregel s.Zitat.

Zitat:
Original von Eisloeffel


du leitest nach Quotientenregel ab, also nach


Somit ist nach deiner ersten Ableitung

Zitat:

und



somit erhälst du und 2x ist dabei die innere Ableitung. Sprich die Ableitung von ich hoffe bis dahin konntest du mir folgen.

Nun nimmst du dir die Quotientenformel zur Hand sie oben. Fügst dein errechnetes ein
Somit steht da:



Soweit klar oder?

Nun siehst du das du
ausklammern kannst

also steht dann da:


Nun kürze einfach Also verschwindet im Zähler der Term und im Nenner wird derselbige Term um 1 verringert (Potenzgesetz)

folglich kommst du auf das Ergebnis


nun fasse den Zählerterm soweit wie möglich zusammen also steht im einzelnen da:



der letzteSChritt wäre dann die 48 auszuklammern damit dann da steht:



fertig... und so machste das dann eben mit der dritten Ableitung vierten Ableitung hundertsten Ableitung und so weiter

Einfacher kann man es nicht mehr erklären ... WEnn dann immer noch nicht verstanden hilft nur noch der/die Mathelehrer/in


Gruß Eisi
matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Poff
Zitat:
Original von matcrack
...
Die ist schon richtig und gleich der von server01, nur in einer anderen Reihenfolge und mit ein paar * mehr und eckigen Klammer. Schau sie dir nochmal genau an. Ich hab's getan und kann keinen Fehler sehen. Sieht alles korrekt aus von meiner Insel hier.


Nein sie ist falsch !! X(


Gut, zur Kenntnis genommen. Aber bleib locker, reg' dich nicht gleich so auf. Auch in der Mathematik geht es NICHT darum, wer recht hat oder wer sich am Besten durchsetzen kann. Es geht nur darum ein Problem zu lösen, egal jetzt auf welche Weise (Programmiererdenken). smile

Ich werde das Ganze nochmal in Ruhe durchrechnen und mit all Euren Ergebnissen vergleichen (hatte ich sowieso vor). Und wenn sich dann herausstellen sollte, dass ich was übersehen habe dann korrigier' ich es eben wieder. Davon geht die Welt auch nicht unter. Außerdem war es schon Mitternacht als ich das gerechnet hab. Da ist das Hirn nicht mehr so frisch.

Was glaubst du wieviele professionelle Programmierer Fehler machen, nur weil sie sich mal irgendwo vetippt, verrechnet oder was vergessen haben. Dazu gehört aber auch eine Menge Disziplin und Freude an der Sache. Man lernt nur aus Fehlern. Etwas was den Schülern im Matheunterricht leider nicht so vermittelt wird. Den wird meistens beigebracht: "So isses, mach's richtig so oder du bist dumm und kannst es lassen". Diese Einstellung gefällt mir nicht. Sie ist destruktiv.

Ich wünsch' dir noch viel Spaß im Board.

Zitat:
Zitat:
Original von matcrack
Yo, Eisloeffel. Du hast es! :]



So, genau. Das ist das Ergebnis was server01 geschrieben hat, nur er hat es in einer anderen Reihenfolge geschrieben. Ich hab das jetzt streng nach der Reihenfolge in der Quotientenregel gemacht.

das ist deine FALSCHE



und hier die RICHTIGE von server01

Zitat:
Original von server01
...




X(


Gut, dass du die beiden Ergenisse nochmal so untereinander geschrieben hast. Da sieht man gleich, dass ich die unterschlagen hab. Die fehlen nämlich. Der Rest ist soweit in Ordnung, nur umgestellt.

Vielleicht hab ich einfach nur eine Ableitung mehr unterschlagen. Wie schon gesagt, ich werde das jetzt nochmal durchrechnen....

Zitat:
Zitat:
Original von matcrack
Ok, wagen wir mal ein kleines Experiment bevor ich pennen gehe. Is ja auch schon nach 3 Uhr nachts. Hmm..
...
...
Jetzt in Qr3 einsetzen:


...

... ich hab dir doch gesagt lass es sein, ist nämlich wieder falsch


So gehts richtig:

f'''=[96*x*(x²+3t²)^3 - 288*(x²-t²)*(x²+3t²)²*x]*(x²+3t²)^-6


smile


Du wirst lachen, aber jetzt wo sich herausstellt, dass bei meinen Rechnungen irgendwo der Hund begraben ist, werd' ich mich jetzt erst recht da reinhängen bis ich es endlich richtig hab, aus dem Schlaf ableiten, kürzen und zusammenfassen kann (Hacker-Denken). Und was noch viel wichtiger ist: endlich hinter das System der Quotientenregel komme! Dass die 2. Qr die Alternation zur 1. ist, heißt noch lange nicht, dass auch die 3. Qr die Alternation zur 2. sein muß. Das muß man noch untersuchen. Deshalb hatte ich ja auch gesagt: es ist nur ein Experiment.

Wenn du mir also eine andere 3. Ableitung geliefert hast (und ich gehe mal davon aus deine ist richtig), dann bedeutet das für mich, dass ich mein Experiment nochmal machen muß bis es am Ende richtig und lückenlos nachweisen kann (Physiker/Chemiker-Denken). Die typische Verfahrensweise von Physikern und Chemikern: solange experimentieren bis es klappt.

In diesem Sinne...
matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
WEnn dann immer noch nicht verstanden hilft nur noch der/die Mathelehrer/in


Naja, nichts gegen Mathelehrer, aber ich denke es wäre viel zu hoch für den Mathelehrer zu verstehen was ich meine, wenn ich ihn anquatschen würde mit:

"Ich versuche herauszufinden, ob bei Ableitungen von gebrochen rationalen Funktionen eine Alternation der Produkte im Zähler der Quotientenregel vorliegt oder nicht, und ob sich daraus ein Gesetz formulieren lässt, dass es mir erlaubt Ableitungen verschiedenen Grades von verscheidenen Funktionen mit Hilfe einer einzigen Formel auszudrücken. Können Sie mir hier mal assistieren und weiterhelfen ?"

Hoho, ich glaube DER würde mich verwirrt anstarren. Wär' sicherlich ein Spaß nur sein Gesicht dabei zu sehen.

Nee nee, aber mal im Ernst. Das kann ich schon alleine. Ich muß nur darauf achten, dass ich immer richtig einsetze, die Terme richtig kürze und zusammenfasse. Denn ich glaube, damit hab ich noch meine Schwierigkeiten.
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

@matcrack

... das 'Gewisse' war NUR ein gut gemeinter Ratschlag von mir,
vielleicht etwas ungeschickt formuliert bzw nicht gut rüber-
gekommen. Damit wollte ich dir werder was 'vorschreiben'
noch sonst irgend was ....


... aaber ich halte meinen Ratschlag nachwievor aufrecht.
Es bringt absolut nichts sich in einer Menge unnötiger Regeln
zu verzetteln. Es ist besser eine perfekt zu beherrschen
und nur diese konsequent einzusetzen.

Da liegst du auf der sicheren Seite.
Was bringen dir Modifikationen wenn du deren eventuellen
Konsequenzen nicht (sicher) im Griff hast.


... ach jaa und soo genervt wie's der Smiley ausdrückte
war ich nun auch wieder nicht *ggg*




Zitat:
Original von matcrack
...
Gut, dass du die beiden Ergenisse nochmal so untereinander geschrieben hast. Da sieht man gleich, dass ich die unterschlagen hab. Die fehlen nämlich. Der Rest ist soweit in Ordnung, nur umgestellt.
...

das ist auch NICHT richtig, da ist noch ein weiterer Fehler drin ... :-o




y = f/g (=f(x)/g(x) )

y'' =( f''*g² - 2*f'*g'*g - f*g''*g + 2*f*g'² ) / g³


... auf dass es dich weiter bringt . Augenzwinkern



smile
matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

@all

So, ich hab nachgerechnet und kommt jetzt auch auf Eure Ergebnisse. Alles verstanden! 8)

Hier nochmal eine Zusammenfassung aus diesem ganzen Thread und wie es zur Verwirrung kam:

1. Zu dem Zeitpunkt als ich diesen Thread hier im Forum eröffnet habe, hatte ich noch nicht gewußt, dass ich die 2. Ableitung der Kurvenschar einfach nur nochmal mit der gleichen Quotientenregel hätte zu machen brauchen. Ich hab da vorher probiert, aber da hat irgendwas nicht geklappt.

2. In dem Glauben, dass ich da irgendeine andere Quotientenregel nehmen muss, die ich als "modifizierte" bezeichnet habe, hatte mich die Antwort von server01 erstmal verwirrt, weil ich beim Nachrechnen nich auf das gleiche Ergebnis kam. Klar, da ich ja dachte, die Quotientenregel würde man für 2. Ableitung nicht nehmen, sondern eine andere, habe ich da erstmal versucht aus server's Ergebnis irgendeine "modifizierte" Ableitung zusammenzubasteln. Das hätte ich mir sparen können. Hätte ich gleich server's Ergebnis mit normaler Quotientenregel nachgerechnet, wäre alles klar gewesen.

3. Ich konnte erstmal selber gar nichts dafür, weil server gleich das Ergebnis hingeschrieben hat in der Annahme, ich wüsste, dass ich dafür die Quotientenregel nehmen muss. Und er kann nichts dafür, dass er nun DAS nicht wußte. Allerdings wenn er meine Ursprungsfrage durchgelsen und beantwortet hätte, nämlich "Was für eine Quotientenregel muss ich für die 2. Ableitung nehmen?", wäre mir alles sofort klar gewesen. Er hätte einfach antworten brauchen: "Nein, du brauchst einfach keine andere Quotientenregel für die 2. Ableitung. Du nimmst einfach nochmal die gleiche. Es ist immer die gleiche, für jede Ableitung einer gebrochen rationalen Funktion.".

4. Ein anderes Problem war, dass ich zu dem Zeitpunkt auch nicht wusste, dass ich bei der Klammer im Nenner der 1. Ableitung auch noch die "innere Ableitung" machen muss und somit auf die "2x" komme, die dann noch drankommen. server01 hat das als "Nachdifferenzieren" bezeichnet. Der Begriff hat mich aber total verwirrt. Erst als Eisloeffel "innere Ableitung" gesagt hat, hat es dann KLICK! gemacht. Da hab ich mich erinnert, das wir das mit unserem Mathelehrer auch immer gemacht haben. Nur wir haben es unter dem begriff "innere Ableitung" gelernt und nicht unter "Nachdifferenzieren". Da ich diesen Begriff "Nachdifferenzieren" noch nie vorher gehört hab, auch nicht im Matheunterricht, wußte ich nicht was server01 damit meint. Dadurch entstanden meine ganzen falschen Ableitungen, weil ich die "innere Ableitung", also "Nachdifferenzieren", nicht machte.

5. Noch eine andere Sache, die mich verwirrte, war Eisloeffel's Quotientenregel, die er hinschrieb. Er schrieb

Zitat:
du leitest nach Quotientenregel ab, also nach


Was Eisloeffel wahrtscheinlich selber noch nicht bemerkt hat, ist, dass diese Quotientenregel, so wie sie da steht, schlichtweg FALSCH ist. Klar, Eisloeffel hat alles richtig gerechnet und ich hab jetzt auch endlich die gleichen Ergebnisse wie er, ABER er hatte sich nur bei seiner Quotientenregel schlichtweg VERTIPPT. Dafür konnte er anscheinend auch nichts, weil er ja richtig eingesetzt und gerechnet hat, obwohl er die Quotientenregel falsch hingeschrieben hat.

Ich erläutere das mal, für alle, die mir nicht folgen können:

Die RICHTIGE Quotientenregel, so wie sie in meinem Mathebuch steht, lautet:

Zitat:


Hierbei ist der Zähler zu beachten. Zum Vergleich beide Regeln, die richtige un die von Eisloeffel.

Zähler (gesprochen): "f strich von x, mal g von x, minus f von x, mal g strich von x".

Eisloeffel's (gesprochen): "f von x, mal g strich von x, minus f strich von x, mal g von x".

Wie man sofort sieht und hört, liegen bei Eisloeffel's Regel die "Striche" anders, nämlich vertauscht: den Strich des Produkts vor dem Minus hat er beim g anstatt beim f, den Strich des Produkts nach dem Minus hat er beim f anstatt beim g.

Das ist nämlich das, was ich als alternierend bezeichnet habe, weil sich hier die Striche quasi "auswechseln". Aufgrund dieser FALSCHEN Quotientenregel von Eisloeffel, die ich fälschlicherweise als RICHTIG annahm, war ich dann sogar noch mehr davon überzeugt, dass es da immer eine andere Quotientenregel für einen bestimmten Grad von Ableitung gäbe, obwohl es in Wirklichkeit immer nur die gleiche ist. Das war mein ganzes Gerede von System und "alternierende Qr".

Aber damit der Eisloeffel sich nicht gleich angegriffen fühlt oder so (ich meine sowas kann dem bestem Mathematiker passieren), muß ich zu seiner Verteidigung sagen, dass seine Quotientenregel, so wie sie da steht, eigentlich richtig ist, aber halt noch nicht vollständig.

Zur Erläuterung:

Wie jeder weiß, darf man Produkte vor und hinter einem Plus oder Minus nicht vertauschen. Ne, (5*3)-(2*3) ist NICHT das Gleiche wie (2*3)-(5*3). Es sei denn, man beachtet dazu das Vorzeichen, also -((2*3)-(5*3)). Wenn also Eisloeffel meinetwegen die Produkte in seiner Quotientenregel vertauschen möchte, dann darf er aber auch nicht das Vorzeichen vergessen!

Die vollständige Quotientenregel von Eisloeffel muß deshalb korrekterweise so lauten:

Zitat:


Jetzt ist sie RICHTIG. Man kann das Ganze nochmal umdrehen und erhält wieder die original Quotientenregel aus meinem Mathebuch. Es ist immer die gleiche Qr.

Und hier lag der Hund begraben! Da ich aber wieder fälschlicherweise annahm, das Eisloeffel da alles richtig macht, kam es natürlich auch hier zur Verwirrung und es hat meinen Glauben noch verstärkt, dass es da immer andere Quotientenregeln gibt. Wär' ich gleich stutzig gewesen, wär' mir sofort aufgefallen, dass das die gleiche Qr ist, nur dass Eisloeffel da das Vorzeichen minus ausversehen vergessen hat hinzuschreiben und somit eine komplett andere Regel aufgestellt hat, mit der er aber nicht gerechnet hat.

Vielleicht hast du dieses Vorzeichen automatisch im Kopf gemacht, keine Ahnung. Deine Rechnungen sind ja RICHTIG. Das habe ich nachgerechnet und hab's jetzt auch so. Somit ist klar, dass du die original Qr verwendet hast. Nur da mußt aber auch darauf achten, dass du alles korrekt hinschreibst. Ich kann ja unmöglich wissen, ob das, was du da gerade hier im Forum hinschreibst, auch 100 Pro dem entspricht, was du dir denkst. Ich bin ja nicht Gott.
matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

Resumee der ganzen Geschichte:

Hätte server01 "innere Ableitung" statt "Nachdifferenzieren" gesagt, hätte Eisloeffel die korrekte Quotientenregel hingeschrieben (auch wenn er meinetwegen die Produkte vertauschte) und hätte man gleich meine Ursprungsfrage richtig durchgelesen und beantwortet (die auch im Titel dieses Thread steht),

dann hättet ihr mir eine Menge Arbeit erspart!

Es gibt nämlich nur EINE Quotientenregel und man muß das innere Ableiten/Differenzieren nicht vergessen. Dazu muss ich nicht irgendwo in der Unterstufe wieder anfangen, um diese einfache Information zu erhalten. Sorry, aber an MIR lag das nun wirklich nicht. So dumm ist selbst der Dümmste nicht.

So, und die anderen Fehler die ich machte, kommen einfach nur daher, dass ich das Ausklammern noch nicht so richtig beherrsche und manchmal auch falsch abgeleitet hab.

Jetzt ist aber alles klar und der Groschen ist endlich gefallen.

Ich danke Euch aber trotzdem für Eure Hilfe und hoffe, dass ihr mir meine letzten Beiträge hier nicht übel nimmt. Ich bin nun mal sehr genau und so muss man mir auch Sachen erklären, damit ich sie verstehe. Das hat nichts mit Intelligenz zu tun, sondern schlichtweg wie man etwas jemandem erklärt.

Bye. smile
Poff Auf diesen Beitrag antworten »

Alle Achtung 'matcrack', verneigen tu ... :]


smile
matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Poff. Siehste, so kann's laufen wenn man nicht vorher überlegt.

Ich hab' daraus was Wichtiges gelernt:

"Erstmal lieber ein zweites Mal noch selber ausprobieren bevor man Thread eröffnet und drauf los fragt!" :P

Obwohl gebracht hat es ja was im Endeffekt. Jetzt weiß ich wenigstens, dass ich die innere Ableitung nicht vergessen darf.
matcrack Auf diesen Beitrag antworten »

Um abschliessend nochmal zu zeigen, dass ich das Prinzip jetzt geschnallt hab, hier die 3. Ableitung der Kurvenschar, in insgesamt 4 Rechenschritten (Zwischenschritte hab ich weggelassen)...

Die 2. Ableitung als Basis:



1. Schritt: in Qr eingesetzt:



2. Schritt: Gekürzt:



3. Schritt: Ausgeklammert:



4. Schritt: Zusammengefasst:



Fertig!
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