Extremwertprobleme

19.03.2006, 13:00

Kev1990

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Extremwertprobleme

Hi
hab da ne Frage zu den Extremwerten:

Man hat 17m Maschendrahtzaun und will damit dem Hund einen zwinger bauen, deen man an die Rückwand des Hauses setzen will.
Wie muss man die Seiten (x,y) wählen, damit der Flächeninhalt am größten ist?

Dazu die Rechnung:

17=2x+y
17-2x=y //Gleichung nach y auflösen

A=x*y(maximaler Flächeninhalt)
A=x(17-2x)
A=17x-2x²

-1/2A=x²-8.5x+0
" " =x²-8.5x+18.0625-18.0625+0
" " =(x-4.25)²-18.0625 |*(-2) //.Hier versteh ich nich wo die
A=-2(x-4.25)²+36.125 //-18.0625 herkommen
// oben subtrahiert man ja 18.0625 //mit sich selbsr, was zur Folge hat dass da 0 stehen müsste, woher kommt also -18.0625

Das ist das Bsp. des Lehrers, mir ist da alles klar, außer die -18.0625
Bei der Übungsaufgabe( Für welche ganze Zahl ist das Produkt aus Vorgänger und Nachfolger am kleinsten ) will mir der Ansatz nich klar werden.
und bei der anderen (Ein Tisch mit dem Format 2m*2m soll mit Einlegearbeit verziert werden.
Aus Kostengründen soll dieser Flächenanteil möglichst gering gehalten werden. Wie groß ist er mindestens?) würd ich sagen muss man von A auf die Gleichung kommen, aber wie man das anstellen soll is mir unklar

mfg, Kev

19.03.2006, 13:10

MrPSI

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der Lehrer hat die +18.0625-18.0625 hinzugefügt, damit er daraus die Scheitelpunktform machen kann. Das nennt man quadratisches Ergänzen. Damit das Ganze gleich bleibt, muss man, wenn man 18.0625 addiert, auch 18.0625 abziehen.

Zu deiner Übungsaufgabe:
zuerst einmal kannst du den Bereich auf einen sehr kleinen Bereich einschränken, und dann heisst es probieren.

Zum Tisch überleg ich mir noch was.

19.03.2006, 13:13

Kev1990

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Zitat:

der Lehrer hat die +18.0625-18.0625 hinzugefügt, damit er daraus die Scheitelpunktform machen kann. Das nennt man quadratisches Ergänzen. Damit das Ganze gleich bleibt, muss man, wenn man 18.0625 addiert, auch 18.0625 abziehen.

ja, so weit so klar, doch wenn man eine Zahl addiert und selbige subtrahiert oder mit der gegenzahl addiert kommt das einer Darstellung von Null am nächsten bzw. ist es dann eine und wenn ich +0+0 schreiben will sagt er es is falsch obwohl er das selbe macht wie ich ...

einschränken?
zählt man 0 noch zu ganzen Zahlen ??? ^^

19.03.2006, 13:21

MrPSI

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es ist nicht falsch wenn du +0+0 schreibst, nur bringt es nichts. Wenn man aber +18.0625-18.0625 macht, dann kann man das Ganze in eine andere Form bringen, ohne die Ergebnisse zu verändern.

Ja, 0 zählt zu den ganze Zahlen.

Und die Aufgabe mit dem Tisch versteh ich nicht ganz.

19.03.2006, 13:44

Kev1990

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wenn 0 ne ganze zahl is, dann is Übungsaufgabe 1 die richtige Lösung 1, da 0*2=0 ^^

Des mit m Tisch versteht keiner wirklcih aus der Klasse ^^

19.03.2006, 13:46

MrPSI

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bist du dir mit der Lösung 1 sicher? Gibts nicht noch eine kleinere Zahl?
Augenzwinkern

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und die Tischaufgabe ist sehr undeutlich gestellt. Was zum Teufel

Teufel

ist denn Einlegearbeit?

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19.03.2006, 14:10

Kev1990

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Es gibt unendlich viele kleinere zahlen( ganze auch) die dann aber mit Vorgänger und nachfolger multipliziert positiv werden und somit größer als null ^^

19.03.2006, 14:13

MrPSI

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so hab ich das nicht gemeint ^^
Ich meinte, ob nicht noch eine andere Zahl gibt, die ein kleineres Ergebnis liefert; überlegs dir nochmal.

19.03.2006, 14:20

Kev1990

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Die zahl IST 0 ?? denn -1*1 gibt minus 1 ?!
meinst das ??

19.03.2006, 14:21

MrPSI

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yep, 0 ist die Lösung. Freude

Freude

19.03.2006, 14:27

Kev1990

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Die mit m Tisch ...

Einlegearbeit sind so verzierungen am tisch ^^
einfach der tisch soll bemalt werden geht genau so ^^

19.03.2006, 14:39

MrPSI

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Kannst du bitte den EXAKTEN Aufgabentext posten, denn ich checks wirklich nicht.

Also ein quadr. Tisch(2x2) soll bemalt/verziert werden und dieser verzierte und bemalte Flächenteil soll aus Kostengründen minimiert werden. Richtig so?
Wenn ja, dann gibt es mMn nichts zu rechnen. Der Tisch soll einfach nicht bemalt werden(Fläche=0) und damit zahlt er gar nix.

19.03.2006, 15:04

Kev1990

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Ein Tisch im Format 2m*2m soll entsprechend einer skizze mit einlegearbeit verziert werden. Aus kostengründen soll dieser Flächenanteil möglichst klein werden. Wie groß ist er mindestens?

21.03.2006, 16:58

Kev1990

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die weiße Fläche links oben Seitenlänge x
die Seite des weißen gtrßen quadrats = y=2-x

Wie groß muss A mindestens sein, ohne die schwarzen teile
Die gesamte Seitelänge des Quadrats liegt bei 2m

Ein Tisch im Format 2m*2m soll entsprechend einer skizze mit einlegearbeit verziert werden. Aus kostengründen soll dieser Flächenanteil möglichst klein werden. Wie groß ist er mindestens?

(Wie macht man an tastatur Index?)

€dit: eigentlich hätt ich gern die skizze dazu ^^
€dit2: anhang nu doch gefunzt^^

21.03.2006, 19:19

MrPSI

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Index macht man so

code:
1:	[latex]a_{index}[/latex] oder [latex]a_i[/latex]

Also, dass du ne Skizze hinzugefügt hast, war ne tolle Idee. smile

smile

(wieso bin ich da nicht draufgekommen *grübel*)

Jetzt versteh ich die Aufgabe endlich. So, Die Fläche A definier ich als die Summe der weissen Quadrate. Stell zuerst mal eine Formel für die Fläche A auf. Dann mittels Nebenbedingung minimieren.

21.03.2006, 20:02

Kev1990

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Da mach ich nen Fehler:

Nebenbedingung: y=2-x
$\begin{eqnarray*} A_{weiß} \end{eqnarray*}$ = x*x+y*y

=x²+y²
=x²+(2-x)²
=x²+4-4x+x²
= 2x²-4x+4

und

$\begin{eqnarray*} A_{schwarz} \end{eqnarray*}$ =2*2-x*x-(2-x)²

sind aber so keine wirklichen Gleichungen, wie Schleser(Lehrer) meint sondern Bezeichnungen/Umschreibungen und weiter komm ich da nich -.-

€dit: entweder A der schwarzen Rechtecke oder A der weißen Quadrate braucht man zur Lösung, jedoch so wie ich s da mach eher nich ^^

€dit3: $\begin{eqnarray*} A_{schwarz} \end{eqnarray*}$ =4x
falls das weiter hilft ^^

€dit4: $\begin{eqnarray*} A_{schwarz} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} A_{weiß} \end{eqnarray*}$ =4
-->4x+2x²-4x+4=4
-->2x+4=4
-->2x=0
-->x=0/2

stimmt nich, aber wo is der Fehler ?

21.03.2006, 20:11

MrPSI

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Um zu minimieren muss man zuerst die 1. Ableitung bilden und dann diese 0 setzen. Hast du das gemacht?

An deiner Funktion für die schwarze Fläche kann man sehen, dass es keine (lokalen) Extrema gibt.

//edit: hab gerad deinen EDIT gelesen. Das Ergebnis stimmt nicht, weil EINE Fläche minimiert werden soll. Du kannst aber nicht die Tischfläche minimieren ^^

21.03.2006, 20:18

Kev1990

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von wegen minimieren hamn wir nich geredet, falls du das meinst, kann aber durchaus sein, der nennt auch Begriffe wie Mitternachtsformel nich

Bzw. 1. Ableitung Begriff kenn ich nich *steinigtmichnicht*
mit "0 setzen" meinst gleichsetzen denk ich mal ?

zu deinem edit: noch nie was von Sägen gehört ^^

21.03.2006, 20:28

MrPSI

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also ich hätte das Minimieren dazu benutzt, dass man die mindestens nötige Fläche herkriegt.

Und ihr behandelt Extremwertprobleme, obwohl ihr noch nicht mal die 1. Ableitung kennt? Macht ihr überhaupt schon Differentialrechnung?

1. Ableitung=Steigung in einem beliebigen Punkt.

21.03.2006, 20:33

Kev1990

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vergess mal schnell was ich oben geschrieben hab:

$\begin{eqnarray*} A_{schwarz} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} A_{weiß} \end{eqnarray*}$ =4 /fläche gesamt

-4x+2x²-4x+4=4
2x²-8x+4=4 |-4
2x²-8x=0 |+8x
2x²=8x |*1/8
1/8*2x²=x
1/4x²=x |*1/x²
1/4=x/x²
1/4=1/x

folgt daraus zufällig: x=4, Gleichungen mit quadraten im Nenner besprechen wa erst noch, bin mir daher also nich sicher ob s so stimmt
-.-

Wenn nich, nu hab ich 3 DinA 4 Blätter mit "Beweisen", dass die Tischfläche abnimmt *g*

bzw. folgt da oben raus nich : 1:4=1:x woraus wieder folgen müsste:
x=4, was eigentlich au nich sein kann *g*

€dit: erste Ableitung steigung an nem beliebigen Pkt kenn ich aber nich mit der Bezeichnung 1. Ableitung ...

€dit: ja wir machen Extremwertprobleme ^^ (mit Nebenbedingung) so lautet Überschrift des Buches, was einem beim verstehen nich wirklich hilfreich is
€dit: Differentialrechnung als solche noch nicht näher besprochen, aber Steigung an nem Pkt kennen wa

21.03.2006, 20:40

MrPSI

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sieh mal von dem Ansatz $\begin{eqnarray*} A_{schwarz}+A_{weiss}=4 \end{eqnarray*}$ ab, weil ich schon oben gesagt hab, dass es nicht funzt, denn die Fläche 4 ist konstant und kann nicht minimiert werden bzw. kann auch nicht von x abhängig sein.

Zitat:

Wie groß muss A mindestens sein, ohne die schwarzen teile

erinner dich lieber an die Aufgabenstellung ^^
du musst die weisse Fläche minimieren, also ihr Minimum finden.
Aber vergiss nicht, vorher die Ableitung zu machen.

//edit: "0 setzen", heisst "0 setzen", und auf keine Fall "gleichsetzen"

21.03.2006, 20:55

Kev1990

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und unter 0 setzen verstehst du ne gleichung so auflösen, dass des ergebnis 0 ist ?

Der Ansatz: soll eigentlich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A_{schwarz} \end{eqnarray*}$ + $\begin{eqnarray*} A_{weiß} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} A_{gesammt} \end{eqnarray*}$

und das stimmt doch auch ?

eine Fläche die aus zwei Teilflächen besteht ist genau so groß wie die teilflächen zusammen addiert, nich kleiner und nich größer, von messungenauigkeit abgesehn ^^

21.03.2006, 21:04

MrPSI

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mir ist gerade ein Fehler deinerseits aufgefallen: $\begin{eqnarray*} A_{schwarz}=4x-2x^2 \end{eqnarray*}$ und nicht 4x. Ausserdem müsste die Aussage $\begin{eqnarray*} A_{schwarz}+A_{weiss}=4 \end{eqnarray*}$ wieder eine wahre Aussage liefern, da dürfte kein x berechenbar sein.

die Aussage $\begin{eqnarray*} A_{schwarz}+A_{weiss}=4 \end{eqnarray*}$ stimmt an und für sich schon, bloss bringt es nix.

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