Zahlen addieren in Pyramide

19.03.2006, 13:02

chrizke

Zahlen addieren in Pyramide

Hi,
ich steh grade vor einem Problem. Ich mächte Zahlen addierenm aber nicht einfach 1+2+3 usw. Das geht ja mit der eulerschen Summenformel.
Ich möchte das ganze jetzt "dreidimensional" machen.
Also stellt euch ne Pyramide aus Kugeln vor, die in der untersten Ebene als längst Seite sagen wir mal 6 Kugeln hat. Darauf folgen dann noch 5 Ebenen mit jeweils einer Kugelreihe weniger als die vorherige Ebene.
Wenn ich jetzt ausrechnen möchte, wieviele Kugeln insgesamt vorhanden sind, wie mach ich das. Gibt es da auch ne Formel für, wie für die 'lineare' Addition von Herrn Euler?

19.03.2006, 13:53

MrPSI

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du addierst einfach die "Kugelflächen". Also ausrechnen wieviel Kugeln die unterste hat, plus die nächste usw.

19.03.2006, 13:54

4c1d

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Zitat:

Das geht ja mit der eulerschen Summenformel

Du meinst die Gaußsche Summenformel
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n k = \frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$
Bist du mit dem Summenzeichen vertraut? Wie sähe denn die Summe, die du berechnen möchtest, als mathematischer Term aus?

19.03.2006, 14:05

chrizke

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nein mit dem Summenzeichen kenne ich mich nicht aus. Sry, ich werf die zwei Herren immer durcheinander Big Laugh

Also mein Term sähe bei 4 Pyramidenebenen so aus, beginnent mit der obersten, also einer Kugel:

1+3+6+10=20

Und mit der Summenformel:

$\begin{eqnarray*} \frac{1*(1+1)}{2}+ \frac{2*(2+1)}{2}+ \frac{3*(3+1)}{2}+ \frac{4*(4+1)}{2} \end{eqnarray*}$

@MrPSI das ist ne superschlaue Antwort...
Was mache ich denn, wenn ich 403984 Ebenen hätte? Außerdem tritt das ja nicht nur bei Pyramiden auf, sondern auch bei Verteilungen in der Stochastik, wie ich heute feststellen musste...

19.03.2006, 14:11

MrPSI

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komische Pyramide, die du da hast. Ich dachte die sei quadratisch. und was ist jetzt dein Problem?

19.03.2006, 14:14

chrizke

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Nein es ist eine dreieckige Pyramide.
Und mein Problem ist es, dass ich dafür gerne ne Formel hätte, mit der ich ausrechnen kann, wieviele Kugeln zB bei 4834983 Ebenen in der Pyramide vorhanden sind.

chrizke

19.03.2006, 14:26

MrPSI

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die einzige Möglichkeit, die ich das sehe, ist die Summe der Summen zu berechnen. So wie du das da eben anhand eines Beispiels gezeigt hast, nur halt verallgemeinert.

Aber wahrscheinlich können dir unsere Board-Mathematiker weiterhelfen, z.B. Arthur.

19.03.2006, 14:30

chrizke

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ja und um dieses verallgemeinern geht es mir, denn ich habe keinen Bock, zig Ebenen in meinen Taschenrechner einzutippen, um damit das auszurechnen, das muss doch auch einfacher mit ner Formel oder so gehen.

19.03.2006, 14:31

bishop

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das wäre doch eine wunderbare Möglichkeit einen eigenen "Satz" zu entwickeln^^

Stell dir eine solche Pyramide vor, die 2,3,4 Flächen hat und rechne die Anzahl der Kugeln aus. Dann versuche das zu verallgemeinern und beweise es mit der vollständigen Iduktion.

Ich bin schon gespannt Augenzwinkern

19.03.2006, 14:33

Mathespezialschüler

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Also, du hast schon richtig herausgefunden, dass du in der k-ten Ebene $\begin{eqnarray*} 1+2+\ldots+k=\frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$ Kugeln hast. Jetzt musst du das ganze nochmal aufaddieren, also:

$\begin{eqnarray*} \frac{1\cdot (1+1)}{2}+\frac{2\cdot (2+1)}{2}+\frac{3\cdot (3+1)}{2}+\ldots+\frac{n(n+1)}{2} \end{eqnarray*}$ .

Das kann man umformen. Die Summe ist

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\big(1\cdot (1+1)+2\cdot (2+1)+3\cdot (3+1)+\ldots+n(n+1)\big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\big(1^2+1+2^2+2+3^2+3+\ldots+n^2+n\big) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}\big((1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)+(1+2+3+\ldots+n)\big) \end{eqnarray*}$ .

Die zweite Summe kennst du ja schon, für die erste gilt:

$\begin{eqnarray*} 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$ .

Durch Einsetzen und Umformen erhältst du eine schöne Formel.

Gruß MSS

19.03.2006, 14:51

chrizke

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Hey danke. Die Idee dahinter ist ja einfacher als ich gedacht hätte. Naja manchmal sieht man halt den Wald vor lauter Bäumen nicht...
Liegt vielleicht schon daran, dass ich an dem Problem schon seit Tagen dransitze und schon sehr wunderliche Sachen herausbekommen habe, die alle leicht schwerer waren als das hier Big Laugh

Für die, dies interessiert, was rauskommt, hier die Formel:
$\begin{eqnarray*} \frac{n(n^{2}+3n+2)}{6} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir sicher, dass es die schon gibt, hat die auch einen Namen?

19.03.2006, 14:59

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Da das Ergebnis jetzt da ist, jetzt noch ein Bonus für alle, die gern in höherdimensionalen Sphären schweben: Big Laugh

Wenn man eine solche Pyramide nicht nur im dreidimensionalen, sondern sogar im d-dimensionalen betrachten will, dann benutze man die für $\begin{eqnarray*} d\geq 1 \end{eqnarray*}$ gültige Formel

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n ~ {k+d-2 \choose d-1} = {n+d-1 \choose d} \end{eqnarray*}$

die sich leicht durch vollständige Induktion beweisen lässt, wobei man im Induktionschritt die aus dem Pascalschen Dreieck her bekannte Summendarstellung $\begin{eqnarray*} {n+d-2 \choose d-1} + {n+d-2 \choose d} = {n+d-1 \choose d} \end{eqnarray*}$ benutzt.

Hier begnügen wir uns mit $\begin{eqnarray*} d=3 \end{eqnarray*}$ .

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