Optimierungsprobleme

19.03.2006, 12:06

Kakadu18xx

Optimierungsprobleme

Hallo zusammen,
ich habe hier ein kleines Problem, das ich einfach nicht gelöst bekomme.
Ich hoffe ich kann euch es einigermaßen gut erklären was ich nicht verstehe!

Also wir haben einen Draht von der Länge a der zu einem Rechteck gebogen werden soll. Dieses Rechteck rotiert dann ume ine Seite so dass der Eindruck eines Zylinders entsteht. Gesucht ist wie man die beiden Längen des Rechtecks festelegen muss, damit das größte Volumen des Zylinders entsteht.

$\begin{eqnarray*} V=\pi r^{2} \cdot h \end{eqnarray*}$

r und h unbekannt --> Zusammenhang finden

2r + 2h = a
nach einer unbekannten auflösen
$\begin{eqnarray*} h=\frac{a-2r}{2} \end{eqnarray*}$

nun gleichung (funktion) in abhängigkeit von r

$\begin{eqnarray*} V(r)=-\pi r^{3}+ \frac{1}{2} \pi ar^{2} \end{eqnarray*}$

für das größte Volumen müssen wir HP suchen druch die erste Ableitung die wir dann mit null gleichsetzen

da kommt bei mir für r1=0 und r2=a/3

durch prüfung mit zweoter ableitung sieht man dass a/3 der HP ist,
also für r=a/3 größtes Volumen

dann habe ich in $\begin{eqnarray*} h=\frac{a-2r}{2} \end{eqnarray*}$ einegsetzt und für h a/6 rausbekommen

ist es bis dahin korrekt?

und jetzt das was ich nicht verstehe bzw nicht draufkomme wieso...

was muss ich amcen umd as Volumen dann rauszubekommen
nun ja ich habe zunächst das h und das r in die Volumenformel des Zylinders eingesetzt, nämlich $\begin{eqnarray*} V=\pi r^{2} \cdot h \end{eqnarray*}$
da bekam ich raus $\begin{eqnarray*} Vzyl=\frac{a^{3}\pi }{54} \end{eqnarray*}$

und dann sah ich dass wir ja auch das Volumen in Abhängigkeit von r haben. da dachte ich, wir brauchen das h ja garnicht wenn wir die formel für das Volumen hernehmen.
Durch einsetzen in
$\begin{eqnarray*} V(r)=-\pi r^{3}+ \frac{1}{2} \pi ar^{2} \end{eqnarray*}$
kam ich auf die Lösung 0 und da habe ich michs chons ehr gewundert dass da nichtd as gelich rauskam weil das doch auch das volumen ist...
wo liegtd enn der Fehler?

Wäre um eure Hilfe sehr dankbar weil ich einfach nicht draufkomme wieso
und das lustige ist, dass beie ienr ähnlichen aufgabe der mathelehrer glaube ich in die Formel mit abhängigkeit eingestzt hat, jedoch haben wirs nicht ausgerechnet, aber da müsste dort doch auch null rauskommen und das nicht stimmen wenn bei mir alles richtig ist

ALso cih hoffe ihr erkennt mein Problem ;-)

Bis bald
Kakadu

19.03.2006, 12:29

babelfish

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RE: Optimierungsprobleme

Zitat:

Original von Kakadu18xx
Also wir haben einen Draht von der Länge a der zu einem Rechteck gebogen werden soll. Dieses Rechteck rotiert dann ume ine Seite so dass der Eindruck eines Zylinders entsteht. Gesucht ist wie man die beiden Längen des Rechtecks festelegen muss, damit das größte Volumen des Zylinders entsteht.

$\begin{eqnarray*} V=\pi r^{2} \cdot h \end{eqnarray*}$

r und h unbekannt --> Zusammenhang finden

2r + 2h = a
nach einer unbekannten auflösen
$\begin{eqnarray*} h=\frac{a-2r}{2} \end{eqnarray*}$

nun gleichung (funktion) in abhängigkeit von r

$\begin{eqnarray*} V(r)=-\pi r^{3}+ \frac{1}{2} \pi ar^{2} \end{eqnarray*}$

für das größte Volumen müssen wir HP suchen druch die erste Ableitung die wir dann mit null gleichsetzen

da kommt bei mir für r1=0 und r2=a/3

durch prüfung mit zweoter ableitung sieht man dass a/3 der HP ist,
also für r=a/3 größtes Volumen

dann habe ich in $\begin{eqnarray*} h=\frac{a-2r}{2} \end{eqnarray*}$ einegsetzt und für h a/6 rausbekommen

ist es bis dahin korrekt?

ich hab zwar die ableitungen etc nicht überprüft, aber das scheint alles so richtig zu sein! smile

Zitat:

und jetzt das was ich nicht verstehe bzw nicht draufkomme wieso...

was muss ich amcen umd as Volumen dann rauszubekommen
nun ja ich habe zunächst das h und das r in die Volumenformel des Zylinders eingesetzt, nämlich $\begin{eqnarray*} V=\pi r^{2} \cdot h \end{eqnarray*}$
da bekam ich raus $\begin{eqnarray*} Vzyl=\frac{a^{3}\pi }{54} \end{eqnarray*}$

und dann sah ich dass wir ja auch das Volumen in Abhängigkeit von r haben. da dachte ich, wir brauchen das h ja garnicht wenn wir die formel für das Volumen hernehmen.
Durch einsetzen in
$\begin{eqnarray*} V(r)=-\pi r^{3}+ \frac{1}{2} \pi ar^{2} \end{eqnarray*}$
kam ich auf die Lösung 0 und da habe ich michs chons ehr gewundert dass da nichtd as gelich rauskam weil das doch auch das volumen ist...
wo liegtd enn der Fehler?

es ist egal, in welche gleichung du deine werte einsetzt, es muss das gleiche rauskommen!
hab das grad mal durchgerechnet und bei mir kommts hin... vielleicht hast du dich einfach nur verrechnet! kannst ja mal posten, was du gemacht hast!

19.03.2006, 13:05

Kakadu18xx

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Hi,
hmmm...wenn bei beiden Gleicungen das gleiche rauskommen muss, dann muss irgendwas nicht stimmen bei mir

Also meine Gleichung mit 1. und 2. Ableitung ist
$\begin{eqnarray*} V(r)=-\pi r^{3}+ \frac{1}{2} \pi ar^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V'(r)=-3\pi r^{2}+ \pi ar \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V''(r)=-6\pi r+\pi a \end{eqnarray*}$

und die Ergebnisse von r und h hab ich ja oben angegeben
und auch das Volumen das ich durch die Zylinderformel gerechnet habe...

stimmen da alle ergebnisse?

wenn ja dann muss ich mit der anderen formel das volumen falsch berechnet haben, was ih aber öfters überpüft habe und da wirklich 0 rauskommt

Grüße
Kakadu

edit: kann mir denn agrniemand helfen?

19.03.2006, 16:20

Kakadu18xx

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ich bin schon am verzweifeln, finde diesen dummen fehler einfach nicht

Grüße
Kakadu

19.03.2006, 20:07

Abakus

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RE: Optimierungsprobleme

Zitat:

Original von Kakadu18xx
Durch einsetzen in
$\begin{eqnarray*} V(r)=-\pi r^{3}+ \frac{1}{2} \pi ar^{2} \end{eqnarray*}$
kam ich auf die Lösung 0...

Rechnen wir mal:

$\begin{eqnarray*} V(r) = -\pi r^{3}+ \frac{1}{2} \pi ar^{2} = \pi*a^3 * (\frac{-2}{54} + \frac{3}{54}) = \frac{\pi*a^3}{54} \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt ist das dasselbe Ergebnis, was du schon hast. Also alles richtig.

Grüße Abakus smile

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