wenn p sich ändert

18.06.2008, 08:26	Gast_47	Auf diesen Beitrag antworten »
wenn p sich ändert Ein Experiment wird 100mal durchgeführt, aber im Unterschied zu Bernoulli bleibt p nicht konstant, sondern ändert sich regelmäßig: $\begin{eqnarray} p_1=0.950 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_2=0.949 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_3=0.948 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p_{100}=0.851 \end{eqnarray}$ Gesucht sind die Grenzen, in denen die Anzahl der Erfolge mit $\begin{eqnarray} P=0.99 \end{eqnarray}$ liegt. Gibt es ein Verfahren für solche Aufgaben?
18.06.2008, 11:09	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich würde einfach die Verteilung von $\begin{eqnarray} S_n=X_1+\cdots+X_n \end{eqnarray}$ rekursiv über $\begin{eqnarray} S_n=S_{n-1}+X_n \end{eqnarray}$ vollständig bestimmen (natürlich mit Computer-Unterstützung). Und anschließend am linken und rechten Rand der Verteilung von $\begin{eqnarray} S_{100} \end{eqnarray}$ jeweils 0.005 abzwacken - oder von mir aus auch die Restwkt 0.01 ungleichmäßig an beiden Enden aufteilen, wenn z.B. ein möglichst kleines Intervall gesucht wird. EDIT: Mit dem Verfahren komme ich auf das Intervall $\begin{eqnarray} [82,97] \end{eqnarray}$ .
18.06.2008, 18:21	Gast_47	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, irgendwie verstehe ich das nicht. Wenn z.B. die Zufallsvariable X die Anzahl der Erfolge unter den 100 Versuchen beschreibt, dann besteht $\begin{eqnarray} P(X=k) \end{eqnarray}$ aus $\begin{eqnarray} n\choose k \end{eqnarray}$ Summanden. Z.B. $\begin{eqnarray} P(X=82) \end{eqnarray}$ besteht aus $\begin{eqnarray} {100\choose 82} = 30664510802988208300 \end{eqnarray}$ Summanden, aber im Unterschied zu den Bernoulli-Ketten sind hier alle Summanden unterschiedlich. Das alles zu berechnen scheint mir unmöglich zu sein, auch mit Computer unmöglich. Oder verstehe ich etwas falsch?
18.06.2008, 18:29	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, allerdings, gewaltig falsch. Wir stimmen doch erstmal überein, dass aus der Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} X_1,\ldots,X_n \end{eqnarray}$ die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray} S_{n-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ folgt, nicht wahr? Dann ist es doch ein leichtes, die Verteilung von $\begin{eqnarray} S_n \end{eqnarray}$ gemäß $\begin{eqnarray} S_n=S_{n-1}+X_n \end{eqnarray}$ als Faltung der Verteilungen von $\begin{eqnarray} S_{n-1} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ zu bestimmen! Startwert (leere Summe): $\begin{eqnarray} P(S_0=k) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; k=0\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ greift nun die Faltung: $\begin{eqnarray} P(S_n=k) = P(S_{n-1}=k)P(X_n=0) + P(S_{n-1}=k-1)P(X_n=1) = P(S_{n-1}=k)\cdot (1-p_n) + P(S_{n-1}=k-1) \cdot p_n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k=0,1,\ldots,n \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} p_n=0.951-0.001n \end{eqnarray}$ dein Bernoulli-Parameter ist. Klar musst du bei der Methode alle Verteilungen von $\begin{eqnarray} S_0,S_1,\ldots,S_{100} \end{eqnarray}$ berechnen, aber das ist im Bruchteil einer Sekunde vom Computer erledigt.

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