Integrale

18.06.2008, 08:52

marodeur

Integrale

Hallo, ich muss zeigen, dass aus der folgenden gleichung folgt, dass die funktion eine exponentialfunktion mit positivem parameter lambda ist.

$\begin{eqnarray*} x,y >0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_0^x f(t) dt \cdot \int_0^y f(t) dt=\int_0^x f(t) dt+\int_0^y f(t) dt-\int_0^{x+y} f(t) dt \end{eqnarray*}$

habe die rechte seite umgeformt zu:

$\begin{eqnarray*} \ldots = \int_0^x f(t) dt - \int_y^{x+y} f(t) dt \end{eqnarray*}$

nun hängts irgendwie, gibt es eine möglichkeit die linke seite zusammen zu fassen, denn darüber ist mir nichts bekannt.

schonmal danke für die tipps.

18.06.2008, 09:28

marodeur

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achja, ich vergaß noch zu erwähnen, dass jedes integral größer 0 ist und dass das integral von 0 bis unendlich gleich 1 ist.

18.06.2008, 09:36

Tomtomtomtom

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Tippzum Anfangen:

Sei F eine Stammfunktion von f. Dann gilt:
...

18.06.2008, 09:55

marodeur

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ich komm ja schon von der Stammfunktion. und der obige erste ausdruck ist gleich diesem:

$\begin{eqnarray*} F(x)\cdot F(y) = F(x)+F(y)-F(x+y) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_0^x f(t) dt \end{eqnarray*}$

aber sowas hatte ich mir auch schon gedacht. wenn dann schreibe

$\begin{eqnarray*} F(x)\cdot F(y)-F(x)\cdot F(0)-F(y)\cdot F(0)+F(0)^2 = F(x)+F(y)-F(x+y)-F(0) \end{eqnarray*}$

koeffizientenvergleich mit oben würde F(0)=0 ergeben aber würde nicht auch F(0)=-1 eine Lösung sein?

18.06.2008, 10:21

klarsoweit

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Mit der Festlegung $\begin{eqnarray*} F(x)=\int_0^x f(t) dt \end{eqnarray*}$ ist doch F(0)=0 und nichts anderes.

Mit der Aufgabe als solches habe ich aber auch meine Probleme. Was ist unter einer "Exponentialfunktion mit positivem Parameter lambda" zu verstehen?

18.06.2008, 10:29

Tomtomtomtom

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Was hast du denn nun gegeben? die Funktionalgleichung für F oder das Ding mit den ganzen Integralen? Wenn ersteres, dann pfeif auf die ganzen Integrale, das ist sicherlich nicht der richtige Weg.

18.06.2008, 13:48

marodeur

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Also es soll rauskaumen, dass die erste gleichung nur für $\begin{eqnarray*} f(x)=\lambda e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ gilt. mit Lambda>0

Ursprüglich ist es eine Aufgabe aus der Stochastik, wobei $\begin{eqnarray*} P(\xi>x)=1-F(x)=e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$

aber ich glaub, so stiftet das alles hier nur verwirrung, ich werde die (vollständige) aufgabe nochmal im richtigen bereich des forums posten.

danke für die hilfeversuche zu meiner spärlichen vorlage.

18.06.2008, 14:18

Tomtomtomtom

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Ich glaub auch, daß das verwirrend ist, zumal es nciht mal stimmt.

18.06.2008, 16:20

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Zitat:

Original von marodeur
ich komm ja schon von der Stammfunktion. und der obige erste ausdruck ist gleich diesem:

$\begin{eqnarray*} F(x)\cdot F(y) = F(x)+F(y)-F(x+y) \end{eqnarray*}$

wobei

$\begin{eqnarray*} F(x)=\int_0^x f(t) dt \end{eqnarray*}$

Ist doch schon mal richtig. Wenn du jetzt die Hilfsfunktion $\begin{eqnarray*} g(x):=1-F(x) \end{eqnarray*}$ definierst, dann muss gemäß deiner Voraussetzungen für dieses $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die Funktionalgleichung

$\begin{eqnarray*} g(x+y) = g(x) \cdot g(y)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

für alle positiven $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$ erfüllt sein. Außerdem weiß man noch, dass $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ aufgrund der Integraldefinition von $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stetig ist.

Funktionalgleichung (*) ist schon x-mal hier im Board behandelt worden, nur so viel:

Man kann leicht durch Vollständige Induktion $\begin{eqnarray*} g(x) = (g(1))^x \end{eqnarray*}$ für positiv rationale $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ beweisen, und über das Stetigkeitsargument dies dann sogar für alle positiven reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ .

Dann gibt es den Fall $\begin{eqnarray*} g(1)=0 \end{eqnarray*}$ , der zu $\begin{eqnarray*} g(x)=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} F(x)=1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>0 \end{eqnarray*}$ führt. Das ist nicht möglich, da einerseits $\begin{eqnarray*} F(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist und andererseits $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ stetig sein muss.

Andernfalls ist $\begin{eqnarray*} g(1) = \left( g\left( \frac{1}{2} \right) \right)^2 > 0 \end{eqnarray*}$ und über die Festlegung $\begin{eqnarray*} \lambda := -\ln(g(1)) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} g(x) = e^{-\lambda x} \end{eqnarray*}$ und damit mit wenigen Schritten die Behauptung.

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