Unterraum? Dimension des Unterraums.,..

19.03.2006, 15:50

Horschie

Unterraum? Dimension des Unterraums.,..

Hallo,

hätte eine Frage bzgl. eines Vektorraums:

$\begin{eqnarray*} U := \{ \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \in \mathbb R^3: 2x_1+x_2-x_3 = 0\} \end{eqnarray*}$

1)
Bildet U einen Unterraum des R^3?
Ja es bildet einen, denn der Nullvektor ist enthalten.

2) Welche Dimension hat U?

Ich finde die folgenden 5 Vektoren:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Meiner Meinung nach sind die Vektoren alle linear unabhängig.
Die Dimension ist jedoch so definiert, daß sie die Anzahl linearunabhängiger Vektoren angibt.

Als Lösung kommt jedoch nur in Frage, daß die DImension 0,1,2 oder 3 ist. Alternativ kann es auch kein Unterraum sein.

DAnke
Christoph

19.03.2006, 16:28

sqrt(2)

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RE: Unterraum? Dimension des Unterraums.,..

Zitat:

Original von Horschie
Bildet U einen Unterraum des R^3?
Ja es bildet einen, denn der Nullvektor ist enthalten.

Die Begründung verlangt zwar Vorkenntnisse, die Aussage ist aber wahr.

Zitat:

Original von Horschie
Meiner Meinung nach sind die Vektoren alle linear unabhängig.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}=\vec{0} \end{eqnarray*}$

Die drei sind es schon mal nicht.

19.03.2006, 16:37

JochenX

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RE: Unterraum? Dimension des Unterraums.,..

Zitat:

Original von Horschie
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dieser eine ist es schon nicht Augenzwinkern

Zitat:

sqrt2:

Zitat:

Original von Horschie
Bildet U einen Unterraum des R^3?
Ja es bildet einen, denn der Nullvektor ist enthalten.

Die Begründung verlangt zwar Vorkenntnisse, die Aussage ist aber wahr.

wenn ich meine Meinung dazu sagen darf:
die Aussage ist so vollkommen unvollständig und auch wenn man das ganze Grundwissen hat, ist das so falsch.

19.03.2006, 17:17

sqrt(2)

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Naja, das Richtige ist gemeint, schätze ich. Die beiden eigentlich wichtigen Kriterien fehlen natürlich.

19.03.2006, 17:48

Horschie

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Hi,

hm ich sehe...ich habe mich bei den Vektoren ein wenig vertan...muss ich nochmal schauen.

Was sind denn die beidsen anderen Kriterien außer dem 0-Vektor?

Gruß
Christoph

19.03.2006, 17:52

JochenX

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für alle x,y in U: x+y in U
a in K, x in U: ax in U

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