Einheiten in Z[i]

18.06.2008, 17:20

pi_mal_Daumen

Einheiten in Z[i]

Hallo!

Ich sitze mal wieder an einer Aufgabe über Ringe, und bin an einer Stelle angekommen, bei der ich wieder nicht weiter weiß. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Zeige: Ein $\begin{eqnarray*} \alpha = a+ bi \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ ist genau dann eine Einheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} v(\alpha) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Folgere: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i]^x = \{1, -1, i, -i\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(z) \end{eqnarray*}$ soll dabei die Normabbildung sein, bei der gilt: $\begin{eqnarray*} v(z) = z\overline{z} = |z|^2 = a^2+b^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z=a+bi \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

Nun zu meinen Vorüberlegungen: Ich habe zwei Richtungen zu beweisen.
"=>":
Sei $\begin{eqnarray*} \alpha = a+bi \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ Einheit in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha\cdot\alpha' = 1 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \alpha ' = a'+b'i \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ Inverses zu $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow aa'+(ab')i+(ba')i+(bb')i^2 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (aa'-bb')+(ab'+ba')i = 1 \end{eqnarray*}$

Genau hier hänge ich gerade. Ich muss ja nun irgendwie auf die Folgerung kommen, sodass am Schluss gilt:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow a^2 + b^2 = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow v(\alpha) = 1 \end{eqnarray*}$

Könnte mir da wohl jemand unter die Arme greifen?
Bei der Rückrichtung, und der daraus resultierenden Folgerung auf die vier Einheiten weiß ich momentan leider noch garnicht weiter. Aber vll. sehe ich das ja, wenn ich die Hinrichtung verstehe.

Danke Augenzwinkern

18.06.2008, 17:53

therisen

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Die Norm ist multiplikativ. Mit dieser Erkenntnis(?) ist die Hinrichtung klar.

18.06.2008, 18:05

pi_mal_Daumen

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Ich denke du meinst damit, dass $\begin{eqnarray*} v(\alpha_1 \alpha_2) = v(\alpha_1)v(\alpha_2) \end{eqnarray*}$ gilt, richtig?
Aber wie genau ich jetzt darauf schließe, dass wenn ich eine EInheit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gegeben habe, dass dann $\begin{eqnarray*} v(\alpha) = 1 \end{eqnarray*}$ gilt, sehe ich leider nicht so recht.

18.06.2008, 18:20

therisen

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Wie viele positive Zahlen, die die Eins teilen, kennst du denn?

18.06.2008, 18:31

pi_mal_Daumen

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An positiven (ganzen) Zahlen gibts ja nur die 1 selber, die die 1 teilt.

Sorry, wenn ich mich scheinbar ein bissle doof anstelle. Forum Kloppe

Ich habe also eine Einheit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gegeben und weiß, dass diese mit ihrem Inversen multipliziert 1 ergeben muss.

18.06.2008, 18:43

therisen

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$\begin{eqnarray*} N(\alpha)N(\beta)=1 \end{eqnarray*}$

Dies ist eine Gleichung mit positiven Zahlen.

18.06.2008, 18:55

pi_mal_Daumen

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Zitat:

Original von therisen
$\begin{eqnarray*} N(\alpha)N(\beta)=1 \end{eqnarray*}$

Dies ist eine Gleichung mit positiven Zahlen.

Also ist die Gleichung nur erfüllt, wenn beide normierten Elemente = 1 sind.

Sei nun also $\begin{eqnarray*} \alpha = a+bi \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ eine Einheit. Es muss also gelten:
$\begin{eqnarray*} \alpha \cdot \beta = 1 \end{eqnarray*}$ , insbesondere also auch $\begin{eqnarray*} v(\alpha \cdot \beta) = 1 \end{eqnarray*}$ <- (hier nicht ganz so sicher)
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (wegen der Multiplikativität von $\begin{eqnarray*} v() \end{eqnarray*}$ ): $\begin{eqnarray*} v(\alpha)v(\beta) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ als Produkt aus positiven Zahlen muss nun gelten: $\begin{eqnarray*} v(\alpha) = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(\beta) = 1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ insbesondere ist so $\begin{eqnarray*} v(\alpha) \end{eqnarray*}$ = 1.

Meintest du das ungefähr so? An der markierten Stelle bin ich mir aber nicht so ganz sicher, wie ich das ausdrücken soll. $\begin{eqnarray*} v() \end{eqnarray*}$ kann ich mir doch als eine Art "Betragsfunktion" vorstellen, oder?

18.06.2008, 18:59

therisen

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Zitat:

Original von pi_mal_Daumen
Meintest du das ungefähr so? An der markierten Stelle bin ich mir aber nicht so ganz sicher, wie ich das ausdrücken soll. $\begin{eqnarray*} v() \end{eqnarray*}$ kann ich mir doch als eine Art "Betragsfunktion" vorstellen, oder?

Ja, genau. $\begin{eqnarray*} v(1)=v(1+0\cdot i)=1^2+0^2=1 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

18.06.2008, 19:10

pi_mal_Daumen

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Okay. Ich denke das habe ich halbwegs verstanden Augenzwinkern

Danke schonmal dafür.

Die Rückrichtung scheint aber irgendwie nen bissle kniffliger zu sein:

Ich habe nun also gegeben, dass $\begin{eqnarray*} v(\alpha) = 1 \end{eqnarray*}$ ist für ein $\begin{eqnarray*} \alpha = a+ib \in \mathbb{Z}[i] \end{eqnarray*}$ .
Ich weiß also, dass $\begin{eqnarray*} a^2+b^2 = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Das bedeutet nun, dass die Summe, die ja aus Quadraten stets positive sein muss, nur 1 sein kann, wenn einer der beiden Summanden 0 ist, und das Quadrat des anderen 1 ist. DIes ist ja nur der fall für +1 und -1. Für i wäre das in dem Fall doch -1...

Jetzt fehlt mir der Sprung dahin, dass $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ eine EInheit sein muss, also auch 1 und alle anderen Elemente teilt. Bin ich wieder zu blind?

18.06.2008, 19:18

therisen

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Richtig, es folgt $\begin{eqnarray*} a=\pm 1 \wedge b=0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a=0\wedge b=\pm1 \end{eqnarray*}$ . Nun gilt doch $\begin{eqnarray*} \alpha=a+ib \end{eqnarray*}$ . Das sind genau 4 Zahlen. Man sieht leicht, dass es sich dabei jeweils um eine Einheit handelt.

18.06.2008, 19:28

pi_mal_Daumen

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Okay...

Wenn ich das nun in die Darstellung $\begin{eqnarray*} \alpha = a+bi \end{eqnarray*}$ einsetze, ergibt sich daraus ja:
$\begin{eqnarray*} \alpha = \pm1 + 0\cdot i \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \pm1 \cdot i = \pm i \end{eqnarray*}$

Dass nun $\begin{eqnarray*} \pm1 \end{eqnarray*}$ die 1 Teilt, ist ja eigentlich trivial. Wieso das ganze nun für $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gilt, weiß ich nicht so recht zu argumentieren. Kann man das so sagen, da stets gilt: $\begin{eqnarray*} \pm i \cdot \pm i = 1 \end{eqnarray*}$ gilt, sofern sich die Vorzeichen von den $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ 's unterscheiden?

Folgt aus der Rückrichtung nicht direkt auch die Folgerung, die ich zu zeigen habe, oder muss ich noch irgendwie beweisen, dass dies auch die einzigen EInheiten sein können?

18.06.2008, 19:32

therisen

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Zitat:

Original von pi_mal_Daumen
Folgt aus der Rückrichtung nicht direkt auch die Folgerung, die ich zu zeigen habe, oder muss ich noch irgendwie beweisen, dass dies auch die einzigen EInheiten sein können?

Ja, das war schon die Rückrichtung. Du solltest aber schreiben: $\begin{eqnarray*} \pm i\cdot(\mp i)=1 \end{eqnarray*}$ .

18.06.2008, 19:38

pi_mal_Daumen

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Hehe... ja genau. Kannte nur das Zeichen nicht, bei dem das Minus oben steht Augenzwinkern

Und mit der Folgerung meinte ich eigentlich folgendes, was ich noch zeigen soll:
Folgere: $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}[i]^x = \{1, -1, i, -i\} \end{eqnarray*}$

Irgendwie ergibt sich das für mich aus der Rückrichtung. Aber evtl. muss ich ja noch zeigen, dass es auch nur diese 4 Elemente geben kann, die eine EInheit sind.

Ansonsten schonmal suuuper vielen Dank Augenzwinkern

18.06.2008, 19:40

therisen

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Zitat:

Original von pi_mal_Daumen
Irgendwie ergibt sich das für mich aus der Rückrichtung.

Genau. "Ergibt" = "Gefolgert" Augenzwinkern

18.06.2008, 19:41

pi_mal_Daumen

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Okay

Danke nochmal! Gott