Erzeugende Funktion

19.03.2006, 16:04

Grand

Erzeugende Funktion

Ich will gleich von Anfang an zugeben ich hab keine Ahnung von dem was ich jetzt hier fragen werde.Beziehungsweise ich hab eigentlich schon ne Ahnugn davon, sagen wir mal ich konnte es als wir es gemacht haben, aber im Moment fällt mir nicht einmal der passende Begriff dafür ein.

Also es dreht sich um folgendes.

Ich GLAUBE (und das heißt hier zu 99% nicht wissen) dass es sich um Rekursionsformeln handelt.
Wenn mich nicht alles täuscht von der Poison - Verteilung und von einer geometrischen Reihne, beziehungsweise um die Formen damit umzugehen.
Es wahr wohl ein Vorläufer zur Normalverteilung.Wie gesagt ich bin mir absolut nicht sicher, es geht aus meinen UNterlagen auch nicht hervor.

also eine Formel lautet:

$\begin{eqnarray*} G(x) = e^{\lambda(x-1)} \end{eqnarray*}$

hierbei bin ich mir relativ sicher dass es die Wahrscheinlichkeit bei für das n-te Element einer Poison verteilung handelt :

$\begin{eqnarray*} P_\lambda (n) = \frac{\lambda^n}{n!}*e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

aber auch nicht sicher.

Und was bitte war nochmal G, und stimmt die zweite Formel?

Wir haben auch noch so lustige Sachen aufgeschrieben wie:

G'(0) = p(1)
G''(2) = P (2)
G'''(0) = P (3)
Das ist ja relativ klar , aber wo kommt dieses G her und wie kommt man auf diese Formeln... es fehlt ein Blatt bei mir halt in den Aufzeichungen... ich weiß wir hatten das für eine Reihe auch noch gemacht aber das Blatt ist weg...

und G''(1) + G'(1) - [G'(1)]² = ??? (Varianz? verwirrt

) sry ich weiß es wirklich nicht mehr.Wäre cool wenn mir jemand helfen könnte, ich weiß ist kagge aber wir schreiben morgen :/ und der rest hat auch keine ahnugn weil viele das gar nicht kapiert haben... ich bräucht ja wenigstens nur nen gedankenanstoß *g* pls

danke im voraus

edit: hab mir mal erlaubt den titel zu ändern. bil

19.03.2006, 16:42

bil

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hi...
also wenn du garnichts darüber weisst fällt es mir schwer einen richtigen anfang zu finden.
also dein G(x) ist die erzeugende funktion von der poissonverteilung. mit der erzeugenden funktion kann man den erwartungswert und die varianz bestimmen. also sobald man die erzeugende funktion von einer verteilung bestimmt hat, kann man über die formeln dies berechnen:
G''(1) + G'(1) - [G'(1)]² = varianz
G'(1) = erwartungswert

wie du siehst, kann man von einer verteilung (hier poissonverteilung) anhand der erzeugenden funktion und deren ableitungen den erwartungswert und die varianz bestimmen.

die allgmeine formel der erzeugenden funktion ist folgende:

$\begin{eqnarray*} G(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n\cdot P(X=n) \end{eqnarray*}$

also die poisson verteilung ist wie du schon richtig geschrieben hast so definiert:

$\begin{eqnarray*} P(X=n)=\frac{\lambda^n}{n!}\cdot e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

also ziel ist es in der regel zu der verteilung die erzeugende funktion zu erstellen und damit dann den erwartungswert und varianz zu bestimmen.

also setzen wir in die allgemeine formel von der erzeugenden fkt die poissonverteilung ein:

$\begin{eqnarray*} G(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n\cdot P(X=n)=\sum_{n=0}^\infty x^n \cdot \frac{\lambda^n}{n!}\cdot e^{-\lambda}=\dots =e^{\lambda(x-1)} \end{eqnarray*}$

erwartungswert der poissonverteilung ist also:

$\begin{eqnarray*} E(X)=G'(1)=\dots=\lambda \end{eqnarray*}$

varianz ist:

$\begin{eqnarray*} V(X)=G''(1) + G'(1) - [G'(1)]²=\dots=\lambda \end{eqnarray*}$

bei ... solltest du selber nochmal nachrechnen, wieso es stimmt Augenzwinkern

hier nochmal allgemeine infos zu poisson verteilung:
http://de.wikipedia.org/wiki/Poisson-Verteilung

gruss bil

edit: bei den ersten ... habe ich folgendes verwendet
http://de.wikipedia.org/wiki/Exponential...ihendarstellung

19.03.2006, 16:52

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Ja, sehe ich auch so (hab grad 2/3 meines Beitrags gestrichen, weil du schneller warst Augenzwinkern

). Zu erwähnen ist noch, dass man die momenterzeugende Funktion auch $\begin{eqnarray*} G(z) := E\left( z^X \right) \end{eqnarray*}$ schreiben kann, und das aus dieser Darstellung dann $\begin{eqnarray*} G'(z) = E\left( Xz^{X-1} \right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G''(z) = E\left( X(X-1)z^{X-2} \right) \end{eqnarray*}$ folgt . Einsetzen von $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} G'(1) = E(X) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} G''(1) = E(X(X-1)) \end{eqnarray*}$ und folglich dann

$\begin{eqnarray*} \mathrm{var}(X) = E(X^2)-(E(X))^2 = E(X(X-1))+E(X)-(E(X))^2 = G''(1)+G'(1)-(G'(1))^2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Grand
G'(0) = p(1)
G''(2) = P (2)
G'''(0) = P (3)

Außer dem ersten ist der Rest falsch, es gilt allenfalls $\begin{eqnarray*} G^{(k)}(0) = k!\cdot P(X=k) \end{eqnarray*}$ , das jetzt aber nur für die Poisson-Verteilung, während das andere oben für alle diskreten Anzahlverteilungen gilt.

19.03.2006, 16:57

bil

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RE: Erzeugende Funktion

Zitat:

Original von Grand
G'(0) = p(1)
G''(2) = P (2)
G'''(0) = P (3)

hatte erst garnicht verstanden was es heissen soll
allgmein gilt:

$\begin{eqnarray*} G^{(k)}(x)=\sum_{i=k}^\infty i(i-1)(i-2)\dots (i-k+1)x^{i-k}P(X=i) \end{eqnarray*}$

z.b folgt dann aus

$\begin{eqnarray*} G'(0)=P(X=1) \end{eqnarray*}$

die anderen kannst du ja selber nachprüfen..

gruss bil

edit: da warst du wohl schneller arthur...

19.03.2006, 17:03

bil

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Ja, sehe ich auch so (hab grad 2/3 meines Beitrags gestrichen, weil du schneller warst Augenzwinkern

). .

das tut mir leid Augenzwinkern

ist mir ja gerade auch passiert, aber ich hab einfach nichts gestrichen Augenzwinkern

bis dann..
bil

19.03.2006, 18:08

Grand

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Hey ihr beiden, ok dass mit dem Ableitungen stimmt wohl so überhaupt nicht dann, bzw man müsste durch k! dividieren um an die Warscheinlichkeit zu kommen? Ich erinnere mich daran dass wir das auch so gemacht haben.Nun gut ich danke euch schonmal, ich denke zumindest die riesengroßen Lücken sind geschlossen, obwohl ich immer noch nicht ganz mitkomme wie ihr diese erzeugenden Funktionen herleitet.Naja man möge es mir verzeihen

mfg und danke

19.03.2006, 19:10

bil

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Zitat:

obwohl ich immer noch nicht ganz mitkomme wie ihr diese erzeugenden Funktionen herleitet

der einzige "trick" der da angewendet wird ist die reihe da richtig heraus zu erkennen. nämlich:

$\begin{eqnarray*} e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} {x^n \over n!} \end{eqnarray*}$

also in unserem fall siehts so aus:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{(\lambda x)^k}{k!}=e^{\lambda x} \end{eqnarray*}$

aber bevor ich hier weiter schreibe,
ist dir das alles klar:

Zitat:

Original von bil
die allgmeine formel der erzeugenden funktion ist folgende:

$\begin{eqnarray*} G(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n\cdot P(X=n) \end{eqnarray*}$

also die poisson verteilung ist wie du schon richtig geschrieben hast so definiert:

$\begin{eqnarray*} P(X=n)=\frac{\lambda^n}{n!}\cdot e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G(x)=\sum_{n=0}^\infty x^n\cdot P(X=n)=\sum_{n=0}^\infty x^n \cdot \frac{\lambda^n}{n!}\cdot e^{-\lambda} \end{eqnarray*}$

ich hab da ja nur die poissonverteilung in die defintion von der erzeugenden eingesetzt, mehr nicht. theoretisch gesehen reicht das jetzt auch schon, aber man will diese funktion auch noch ableiten. deshalb will man eine etwas schönere darstellung haben.

gruss bil

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