Zahlen mit bestimmter Eigenschaft gesucht.

19.03.2006, 17:48

PSM

Zahlen mit bestimmter Eigenschaft gesucht.

Hallo,

momentan komme ich bei folgendem Problem, das mich seit einigen Tagen beschäftigt, nicht weiter. Der thread unten mit Quersummenbestimmung hat mir leider auch nicht geholfen, weil ich das Problem möglichst ohne Computer lösen möchte. (Ich beherrsche nur Pascal, was sich für viele Probleme (wie z.B. in meiner Signatur) als unbrauchbar herausstellt.)

Ich suche natürliche Zahlen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , die sich als Produkt zweier natürlicher Zahlen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit
$\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ darstellen lassen, für die gilt:
$\begin{eqnarray*} Q(z^{a})=Q(z^{b})=z \end{eqnarray*}$
Dabei ist Q die Quersumme.

Eine Zahl, nämlich die 54=9*6, habe ich gefunden.
Die 42 erfüllt diese Eigenschaft leider nicht. Augenzwinkern

Meine Fragen lauten:
Gibt es noch mehr solche Zahlen? Vermutung: ja.
Wenn ja, gibt es eine allgemeine Darstellung solcher Zahlen, also sowas wie eine Formel?

Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?

19.03.2006, 17:56

sqrt(2)

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RE: Zahlen mit bestimmter Eigenschaft gesucht.

Zitat:

Original von PSM
(Ich beherrsche nur Pascal, was sich für viele Probleme (wie z.B. in meiner Signatur) als unbrauchbar herausstellt.)

Pascal ist Turing-vollständig und somit definitiv nicht unbrauchbar. Daran sollte es also nicht scheitern...

19.03.2006, 18:17

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@PSM

Wozu braucht man denn sowas ...

Ein paar Ideen: Es ist $\begin{eqnarray*} z=ab \end{eqnarray*}$ und o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$

Es gilt auf jeden Fall die Abschätzung $\begin{eqnarray*} Q(n)< 9(\lg(n)+1) \end{eqnarray*}$ . Wenn also bereits $\begin{eqnarray*} 9(\lg((ab)^a)+1) = 9(a\lg((ab)+1) < ab \end{eqnarray*}$ gilt, dann kommen diese $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ nicht in Frage. Das schließt schon mal einen gewaltigen Teil der "großen" $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ aus.

Für den Rest ist vielleicht $\begin{eqnarray*} Q(n)\equiv n\mod 9 \end{eqnarray*}$ ganz nützlich, um die Sache einzuschränken.

EDIT: Außer deinem Beispiel $\begin{eqnarray*} a=6,b=9,z=54 \end{eqnarray*}$ hab ich nur noch $\begin{eqnarray*} a=3,b=6,z=18 \end{eqnarray*}$ gefunden, mehr gibt es nicht.

20.03.2006, 17:30

PSM

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Danke.

Zitat:

.... mehr gibt es nicht.

Sicher nicht? Beweis...?
Deine Abschätzungsmöglichkeiten legen zwar nahe, dass es nicht viele gibt, aber dass es dann nur zwei gibt, überrascht mich etwas...

Zitat:

Wozu braucht man denn sowas ...

Ich weiß es nicht, aber ich finde es trotzdem interessant.

20.03.2006, 20:15

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Zitat:

Original von PSM

Zitat:

.... mehr gibt es nicht.

Sicher nicht? Beweis...?

Den machst du hübsch selbst. Nur soviel:

$\begin{eqnarray*} 9(a\lg((ab)+1) \geq ab \end{eqnarray*}$

ist nur für endlich viele Paare (a,b) natürlicher Zahlen mit a<b erfüllt, und die kannst du ja dann alle durchprobieren. Wenn du da noch ein Paar findest, werde ich mein MuPad wegwerfen müssen...

20.03.2006, 21:05

PSM

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Dann probier' ichs mal:

$\begin{eqnarray*} 9(a*lg(ab)+1)\geq ab \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} lg(ab)\geq \frac{b}{9}-\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ab \geq 10^{\frac{b}{9}-\frac{1}{a}} \end{eqnarray*}$
Weil für große b die rechte Seite stark anwächst, schränke ich den Exponenten auf kleinergleich 2 ein.
Also gilt
$\begin{eqnarray*} b \leq 18 + \frac{9}{a} \end{eqnarray*}$
Mit a=1 ergibt sich maximal b=27.

Dann rumprobieren... (heute aber nicht mehr)

20.03.2006, 21:25

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Nicht ganz einsichtig, wieso der Exponent maximal 2 sein soll! Aber so klappt's auch sauber:

Damit $\begin{eqnarray*} ab \geq 10^{\frac{b}{9}-\frac{1}{a}} \end{eqnarray*}$ gilt, muss wegen $\begin{eqnarray*} b>a\geq 2 \end{eqnarray*}$ notwendig $\begin{eqnarray*} b^2 > 10^{\frac{b}{9}-\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} b > 10^{\frac{b}{18}-\frac{1}{4}} \end{eqnarray*}$ gelten.

Das führt letztendlich nur zu $\begin{eqnarray*} b\leq 31 \end{eqnarray*}$ , aber das reicht ja auch.

P.S.: Übrigens, zu deiner Signatur

Zitat:

Original von PSM
$\begin{eqnarray*} f(n)=10f(n-1)+n; ~ f(0):=0 \end{eqnarray*}$
Man staune bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{f(n)} \end{eqnarray*}$ für ungerade n .

Kann nichts Staunenswertes entdecken. Auch die explizite Darstellung bringt mich da auf nichts besonderes:

$\begin{eqnarray*} f(n) = \frac{10}{81}(10^n-1) - \frac{n}{9} \end{eqnarray*}$

21.03.2006, 07:30

Leopold

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Bei numerischer Berechnung erhält man den Dezimalbruch
$\begin{eqnarray*} 111 \ldots 1 {,} 111 \ldots 1 *** \ldots \end{eqnarray*}$

21.03.2006, 09:54

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Ja, ist schon klar, dass

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} \left( \sqrt{f(n)}- \frac{1}{9}\cdot 10^{\frac{n+1}{2}} \right) = 0 \end{eqnarray*}$

ist und dass das für ungerade $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ diese Ziffernfolge ergibt. Aber ich habe wohl das Staunen darüber verlernt. Augenzwinkern

21.03.2006, 17:13

PSM

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So sauber war meine Rechnung gar nicht, weil der Exponent 2 zugegebenermaßen überschlagen war...
Das mit $\begin{eqnarray*} b>a\geq 2 \end{eqnarray*}$ war eindeutig besser.

Danke nochmal für deine Hilfe.

Zu meiner Signatur:
Die habe ich aus dem Buch "Dr. Googols wundersame Welt der Zahlen" von Clifford A. Pickover. Macht Spaß dieses Buch zu lesen.
Da wird man zu solchen Zahlenspielereien geradezu aufgefordert. smile

Zu erkennen ist eine Sequenz, nämlich 1, 5, 6, 2, 4, 9, ...
Diese Sequenz heißt ...
schizophrene Sequenz! Big Laugh

Bei n=49 z.B. werden die Perioden von 1 zu 5 zu 6 zu 2 usw. immer kleiner aber die Länge irregulärer Sequenzen (die jeweils zwischen den Perioden sind), immer größer.
Ich fand diese Sequenz so sympathisch, dass ich sie zu meiner Signatur gemacht habe. Augenzwinkern

21.03.2006, 17:20

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Zitat:

Original von PSM
Bei n=49 z.B. werden die Perioden von 1 zu 5 zu 6 zu 2 usw. immer kleiner aber die Länge irregulärer Sequenzen (die jeweils zwischen den Perioden sind), immer größer.

Sprichst du von den Nachkommastellen von $\begin{eqnarray*} \sqrt{f(n)} \end{eqnarray*}$ ? Ansonsten ist mir das unverständlich, was du mit Sequenz meinst.

21.03.2006, 20:03

PSM

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Im Buch stand nichts von Nachkommastellen, es ist von den "ersten 500 Ziffern" die Rede.
Mit irregulären Sequenzen meine ich z.B. sowas: 1547284345879, also eine Zahlenfolge, die "willkürlich" ist.
Also: zuerst viele Einser (Periode), dann ein paar "willkürliche" Ziffern (irreguläre Sequenz), später mehrere Fünfer (weniger als Zahl der Einser, aber mehr als irreguläre Zahlen), usw.
...

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