Entladung eines Kondensators, Ladungsmessung durch Integration

19.03.2006, 21:07	yuki	Auf diesen Beitrag antworten »
Entladung eines Kondensators, Ladungsmessung durch Integration Huhu! Es geht in dieser Aufgabe um einen Kondensator. Nummer a) - c) habe ich schon gelöst stolz Die Funktion lautet: I $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ = 2,4 mA * e^-01,4 s^-1 * t aber der letzte Teil macht mir Probleme: Da heisst es: für t $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ = 0 sekunden habe der Kondensator die Ladung Q = 6,0 mC Berechnen sie t $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ für den Fall, dass der Kondensator 60 % dieser Ladung abgegeben hat. Ich hoffe, alles was wichtig ist, steht hier jetzt. Bitte helft mir!!
19.03.2006, 21:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Die Entladefunktion gibt ja den Zusammenhang zwischen der Anfangsladung und der momentanen Ladung zu einem bestimmten Zeitpunkt an. Setze daher die Ladungsmenge zur Zeit $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ gleich dem 0,4 - fachen (das 0,6 - fache wurde ja schon abgegeben) der Ladungsmenge am Beginn (da war der Kondensator voll geladen). Die Einheit der Ladung (Q) ist $\begin{eqnarray} 1 C (Coulomb) = 1 As \end{eqnarray}$ (AmpéreSekunde), daher stellt das Integral der Strom-Zeitfunktion die in einer bestimmten Zeit abgegebene Ladungsmenge dar. $\begin{eqnarray} Q = \int~i(t)~dt \end{eqnarray}$ Hilft dir das so weit? Gr mYthos
19.03.2006, 21:28	yuki	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, also hättest du das auf Alt-griechisch geschrieben, hätt ich es genauso gut verstanden, aber trotzdem danke. Ich lese mir das jetzt noch 2000mal durch, dann versteh ich das vielleicht
19.03.2006, 22:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Der (theoretische) Weg scheint so vorgegeben, aber im Moment hakt's mit den Zahlenwerten, da komme ich dzt. auf keine vernünftige Lösung. Ich sehe mir das noch an und melde mich dann wieder. Definition (allg.) der Ladung q: (Ladung = Elektrizitätsmenge) $\begin{eqnarray} i = \frac{dq}{dt} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} i~dt = dq \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int~i~dt = q(t) \end{eqnarray}$ Daher ist die Einheit der Ladung: As Ladung Q in einer bestimmten Zeit ( $\begin{eqnarray} t_1 \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} t_2 \end{eqnarray}$ ): $\begin{eqnarray} Q(t_1, t_2) =\int_{t_1}^{t_2}~i~dt \end{eqnarray}$ EDIT: Mit der Stromfunktion in der Angabe kann m.E. die Ladung von 6 mC nicht erreicht werden, weil deren Fläche mit der Zeitachse auch in langen Zeitabschnitten immer wesentlich kleiner ist. Wir brauchen jedoch diese 6 mC nicht weiter in die Rechnung einbeziehen, weil wir nur die proportionale (prozentuale) Ladungsabnahme zu berücksichtigen haben. Wir überlegen, dass wir nur jenen Zeitpunkt suchen müssen, in welchem der Momentanwert der Ladung auf das 0,4 fache der Anfangsladung abgesunken ist. Wir integrieren daher i(t) nach dt, um die Abhängigkeit der Ladung von der Zeit darzustellen: $\begin{eqnarray} i(t) = \frac{12}{5}e^{-1,4t} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q(t) = \int~i(t)~dt = -\frac{12}{7}e^{-1,4t} \end{eqnarray}$ In der Funktion zeigt das negative Vorzeichen einen Ladungsabfluss an. Wir bestimmen nun jenes t, für das gilt: $\begin{eqnarray} q(t) = 0,4q(0) \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} q(0) = -\frac{12}{7} \end{eqnarray}$ --> $\begin{eqnarray} -\frac{12}{7}e^{-1,4t} = -0,4 \cdot \frac{12}{7} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{-1,4t} =0,4 \end{eqnarray*}$ Löse dies noch nach t auf und das war's dann. Abschließende Bemerkung: Sehen wir uns die Funktionen i(t) und q(t) nochmals genauer an, so erkennen wir, dass deren jeweilige Änderungen mit der Zeit zueinander proportional sind. Wir hätten - allerdings erst nachträglich besehen - auch sofort aus i(t) jenen Zeitpunkt bestimmen können, an dem die Stromstärke auf das 0,4 fache der ursprünglichen abgesunken ist, er muss dem anderen Resultat gleich sein. Diese Erkenntnis kann man aber erst gewinnen, wenn die Integration von i(t) nach dt vorliegt und ersichtlich ist, dass diese bis auf einen Faktor gleich i(t) ist. mY+

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