Definition lokaler Extrema

19.06.2008, 15:29

Jacques

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Definition lokaler Extrema

Hallo,

Ich hätte zwei prinzipielle Fragen zu lokalen Extrema:

-- Kann $\begin{eqnarray*} f\left( x_E \right) \end{eqnarray*}$ nur dann lokales Extremum sein, wenn es eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_E \end{eqnarray*}$ gibt, die Teilmenge von $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ ist? Oder kann ein Funktionswert auch dann Extremum sein, wenn die zugehörige Stelle z. B. ein isolierter Punkt der Definitionsmenge ist? Ich habe mehrere Definitionen gesehen, bei denen letzteres ausdrücklich zugelassen wird -- aber dann hätte doch z. B. die Funktion

$\begin{eqnarray*} f = \left\{ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \right\} \end{eqnarray*}$

genausoviele lokale Extrema wie Funktionswerte...

-- Schließt die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray*} f^{\prime} \left(x_E \right) = 0 \end{eqnarray*}$ mit ein, dass die Funktion an der Extremstelle differenzierbar sein muss? Oder muss man das so verstehen: Wenn sie differenzierbar ist, dann ist die erste Ableitung 0.

Denn rein nach der Definiton hat doch z. B. die Betragsfunktion das lokale Minimum 0 -- ohne dass sie an der zugehörigen Stelle differenzierbar wäre.

19.06.2008, 15:34

Dual Space

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RE: Definition lokaler Extrema

Zitat:

-- Schließt die notwendige Bedingung $\begin{eqnarray*} f^{\prime} \left(x_E \right) = 0 \end{eqnarray*}$ mit ein, dass die Funktion an der Extremstelle differenzierbar sein muss? Oder muss man das so verstehen: Wenn sie differenzierbar ist, dann ist die erste Ableitung 0.

Genau. Sobald Bedingungen mittels Ableitungen formuliert werden, gelten diese natürlich auch nur für Funktionen mit genügend Regularität.

19.06.2008, 15:36

Zizou66

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Für dein erste Frage gibt es ein klares Ja. Ein lokaler Extrempunkt existiert ja nur relativ zu anderen Punkten existieren, daher muss es eine Umgebung zu diesem Punkt gibt.
Ich habe mich bei der Einführung auch daran gestoßen und habe sehr oft nachfragen müssen, weil mein Lehrer das mit der Umgebung zuerst nicht gesagt hat. Die Umgebung darf sogar gegen null gehen, nur nie null sein.

Bei der zweiten Frage bin ich mir nicht ganz sicher, doch es ist normalerweise gefordert, dass bei einer Extremwertuntersuchung die zu untersuchende Funktion zweimal differenzierbar sein muss.
Die erste Ableitung muss gleich null sein, damit es keinen Anstieg oder Abstieg der Funktionswerte mehr gibt.

Edit: Zu langsam...

19.06.2008, 15:57

Jacques

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Danke für Eure Antworten. smile

smile

19.06.2008, 16:03

AD

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Zitat:

Original von Jacques
Oder kann ein Funktionswert auch dann Extremum sein, wenn die zugehörige Stelle z. B. ein isolierter Punkt der Definitionsmenge ist? Ich habe mehrere Definitionen gesehen, bei denen letzteres ausdrücklich zugelassen wird -- aber dann hätte doch z. B. die Funktion

$\begin{eqnarray*} f = \left\{ (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) \right\} \end{eqnarray*}$

genausoviele lokale Extrema wie Funktionswerte...

So ist es: Jeder dieser Punkte ist ein lokaler Extrempunkt, so seltsam das auch klingen mag - aber die Definition ist in dieser Hinsicht klar. Ich bin somit anderer Ansicht als Zizou66, wenn ich ihn richtig verstanden habe.

19.06.2008, 16:12

Zizou66

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Ja ich glaube das hast du Arthur Dent Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich sehe das Problem hierin, dass es eine Definitionsfrage ist. Bei uns im Matheunterricht habe ich so lange nachgefragt bis unser Lehrer mir eine Definition mitgebracht hat die wie folgt lautet:

Ein Punkt einer Funktion ist ein Extrempunkt, wenn er der kleinste oder größte einer beliebig großen Umgebung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist.

Die Forderung nach einer Umgebung macht meiner Meinung nach auch mehr Sinn, da etwas ja nur relativ zu etwas anderem groß oder klein sein kann. Ein isolierter Punkt auf dem Koordinatensystem ist immer der Größte und der Kleinste, es gibt kein Maß, was angibt, ob er groß oder klein ist. So verstehe ich das Wink

Wink

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19.06.2008, 16:14

AD

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Also diese Definition passt zu globalen Extrempunkten, zu lokalen in keinster Weise. Und nach letzteren war ja hier gefragt.

Um es nochmal auf den Punkt zu bringen: Die Definition des lokalen Extremums stellt nur Bedingungen an die Funktionswerte in einer kleinen Umgebung. Sie stellt keine Bedingung, dass diese Umgebung außer der Extremstelle überhaupt andere Punkte enthalten muss!

19.06.2008, 16:21

Zizou66

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Ohja stimmt. Habe falsch abgeschrieben. Richtig muss es heißen:

Ein Punkt einer Funktion ist ein Extrempunkt, wenn er der kleinste oder größte einer beliebig kleinen Umgebung $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist.

Eine beliebig kleine Umgebung kann auch gegen Null gehen, darf aber nie Null werden, daher gibt es immer Punkte in der Umgebung, die betrachtet werden.

Was sagst du zu der Forderung nach der Umgebung und zur Relation der Größen der Punkte (siehe letzter Beitrag).?

19.06.2008, 16:25

Jacques

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@ Zizou66: Ich glaube nicht, dass die Umformulierung irgendeinen Effekt hat -- denn "klein" kann ja alles mögliche heißen...

Ich glaube eher, dass die Formulierung "in einer Umgebung" das Entscheidende ist: Es gibt irgendeine (beliebig kleine) Umgebung u. s. w.

Für die Definition globaler Extrema würde ich eher erwarten: In jeder Umgebung...

19.06.2008, 16:25

AD

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Zitat:

Original von Zizou66
Eine beliebig kleine Umgebung kann auch gegen Null gehen, darf aber nie Null werden, daher gibt es immer Punkte in der Umgebung, die betrachtet werden.

Das stimmt nicht: Betrachtet man die diskrete Topologie, dann kann sich die Umgebung durchaus auf den einen Punkt reduzieren. Ist natürich schwierig in der Schulmathematik zu erklären ... Ich stelle einfach mal vor, wie ich die Definition des lokalen Extremums kenne:

Wir setzen voraus, dass der Definitionsbereich $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ Teilmenge eines topologischen Raumes ist, z.B. die reellen Zahlen mit den durch die euklidische Metrik bestimmten Umgebungen.

$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist lokale Minimalstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , falls es eine Umgebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass

$\begin{eqnarray*} f(x) \geq f(x_0) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in D_f\cap U\qquad (*) \end{eqnarray*}$

gilt. Bei einem $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ , was nur aus isolierten Punkten besteht wie in dem Beispiel von Jacques, findet man natürlich ein $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} D_f \cap U = \{ x_0 \} \end{eqnarray*}$ ist, d.h., nur aus einem Punkt besteht. Dann ist natürlich Bedingung (*) trivialerweise erfüllt, und damit aber dann $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ eine lokale Extremstelle. Das hat nichts damit zu tun, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ durchaus andere Punkte enthält, aber eben nicht der Durchschnitt $\begin{eqnarray*} U\cap D_f \end{eqnarray*}$ .

19.06.2008, 16:36

Zizou66

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Ok, ich beuge mich deiner Argumentation. Ich habe von Topologie wirklich keine Ahnung, aber deine Argumentation ist nachvollziehbar.

19.06.2008, 16:41

AD

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Ich hoffe, du lässt dich nicht durch das Wörtchen Topologie abschrecken, stell dir im reellen einfach die üblichen offenen Epsilon-Umgebungen vor.

Wenn man nur Umgebungen zuließe, die wenigstens einen anderen Punkt des Definitionsbereiches enthalten, dann hätte das seltsame Konsequenzen - dazu betrachten wir mal folgendes veränderte Beispiel von Jacques:

$\begin{eqnarray*} f = \left\{ (1,1), (3, 3), (4, 4), (6, 6), (7,7), (9,9) \right\} \end{eqnarray*}$

Mit der Euklidischen Metrik wären nach der solchermaßen geänderten Definition (1,1), (3,3) und (6,6) lokale Minimalstellen, die anderen nicht. Genauso wären dann (4,4), (7,7) und (9,9) lokale Maximalstellen, die anderen nicht. Irgendwie seltsam ... Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.06.2008, 16:50

Zizou66

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Von dem Wort lasse ich mich nicht abschrecken. Es ist nur schwer einen Einstieg außerhalb der Schule zu bekommen.

Ja es ist wirklich seltsam. Ich kenne mich leider nur sehr wenig mit Funktionen, wie der oben gegebenen, sehr schlecht aus, bin ja nur ein normaler Schüler. Und wir haben die Extremwertbetrachtung nur an ganzrationalen und gebrochen rationalen Funktionen verwendet. Für diese halte ich ist die Definition, die ich oben gepostet habe für zutreffend, für die Gesamtheit der Funktionen, wie du gezeigt hast, jedoch nicht.

19.06.2008, 17:08

Jacques

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@ Arthur Dent:

Aber der obige Alternativ-Vorschlag ist damit doch eigentlich nicht "widerlegt". Nach der alternativen Definition hätte f einfach überhaupt keine lokalen Extremwerte. Denn sie lautet ja:

$\begin{eqnarray*} f(x_E) \end{eqnarray*}$ ist genau dann Extremwert von f, wenn es eine (nichtleere) Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_E \end{eqnarray*}$ gibt, die Teilmenge von $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ ist, und alle Funktionswerte von Stellen aus der Umgebung kleiner/gleich bzw. größer/gleich $\begin{eqnarray*} f(x_E) \end{eqnarray*}$ sind.

19.06.2008, 17:16

Zizou66

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Zitat:

Bei einem $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ , was nur aus isolierten Punkten besteht wie in dem Beispiel von Jacques, findet man natürlich ein $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} D_f \cap U = \{ x_0 \} \end{eqnarray*}$ ist, d.h., nur aus einem Punkt besteht.

Ich habe doch noch eine Frage. Wenn der Durchschnitt aus $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist, heißt das doch, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ eigentlihc nur aus $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ besteht, oder aus Elementen, die nicht zu Definitionsmenge gehören und daher nicht von Belang sind. Wenn die Umgebung allerdings nur aus $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ besteht, ist es dann immer noch eine Umgebung? Denn vom Wort Umgebung ausgegangen mutet es mir anders an.

19.06.2008, 17:19

Jacques

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@ Zizou66:

Der Durchschnitt von Umgebung und Definitionsmenge wäre dann selbst keine Umgebung -- jedenfalls nach der "reellen Definition".

Umgebungen sind entweder leer (?) oder sie haben unendlich viele Elemente.

19.06.2008, 17:30

Zizou66

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Genau deswegen frage ich. Ich glaube aber auch, dass Arthur Dent uns eine Begründung liefern wird, wieso er das so geschrieben hat. Lass uns deshalb am besten auf ihn und seine Erläuterungen warten Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.06.2008, 18:54

AD

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Es gibt nichts zu begründen: Das ist die Definition des lokalen Extremums, wie ich sie kenne.

Wenn ihr was besseres, vernünftigeres findet - was auch nicht so merkwürdige Folgerungen hat wie in meinem oben angeführten Beispiel - dann her damit.

http://de.wikipedia.org/wiki/Extremwert#Formale_Definition

19.06.2008, 19:47

Jacques

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Die Alternative wäre:

$\begin{eqnarray*} f(x_E) \end{eqnarray*}$ ist genau dann ein lokales Extremum von f, wenn es eine epsilon-Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_E \end{eqnarray*}$ gibt, die Teilmenge von $\begin{eqnarray*} D_f \end{eqnarray*}$ ist, und $\begin{eqnarray*} f(x_E) \end{eqnarray*}$ das Maxium/Minimum der Einschränkung von f auf die Umgebung ist.

Wie gesagt: Die oben beschriebene Situation tritt nicht ein. Die Funktion f hätte nach der Definition einfach überhaupt keine lokalen Extrema.

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