Vollständige Induktion die Dritte : /

20.03.2006, 21:19

h4ck

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Vollständige Induktion die Dritte : /

hallo an alle....ersteinmal wollt ich mich noch mal bei euch allen bedanken dass ihr mit schonma bei den anderen beiden aufgaben geholfen hab t !! das war echt suuper...leider is der schrecken "vollstöndige induktion" noch nicht vorbei :P

soll die bernouliische ungleichung noch beweisen und hab da mal angefang und bin schonmal wie folgt vorgegangen:
(den beweis für n=1 brauchen wir ja nicht aufführen :P)

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+xn \end{eqnarray*}$

auf der linken seite hab ich dann für n=(n+1) eingesetzten wodraus folgt

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \end{eqnarray*}$

und dann nach potenzgesetz

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n}\cdot (1+x) \end{eqnarray*}$

dann nach IV

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n}\cdot (1+x) \geq (1+nx) (1+x) \end{eqnarray*}$

lieg ich soweit richtig ??

wenn ja wie gehts weiter ??

20.03.2006, 21:46

JochenX

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warum hast du eigentlich dort alle Aufgaben gepostet, machst aber dann immer neue auf!?
Ich möchte ja fast diesen hier schließen und im anderen Thread weitermachen llassen...... ich lass es vorerst mal auf, aber deine Taktik verstehe ich nicht.

20.03.2006, 21:53

h4ck

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sorry

unglücklich

unglücklich

naja weiss nich hatte erstmal unüberlegt alles gepostet....aber das kommt halt meiner meinung nach alles durcheinander wenn da so viele seiten sind und jede aufgabe dann da aufeinma drin steht : // würd dich bitten den hier nicht zu schließen sondern die anderen 2 : //

sorry nochma

20.03.2006, 21:57

Daktari

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RE: Vollständige Induktion die Dritte : /

Zitat:

Original von h4ck
hallo an alle....ersteinmal wollt ich mich noch mal bei euch allen bedanken dass ihr mit schonma bei den anderen beiden aufgaben geholfen hab t !! das war echt suuper...leider is der schrecken "vollstöndige induktion" noch nicht vorbei :P

soll die bernouliische ungleichung noch beweisen und hab da mal angefang und bin schonmal wie folgt vorgegangen:
(den beweis für n=1 brauchen wir ja nicht aufführen :P)

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+xn \end{eqnarray*}$

auf der linken seite hab ich dann für n=(n+1) eingesetzten wodraus folgt

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \end{eqnarray*}$

und dann nach potenzgesetz

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n}\cdot (1+x) \end{eqnarray*}$

dann nach IV

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n}\cdot (1+x) \geq (1+nx) (1+x) \end{eqnarray*}$

lieg ich soweit richtig ??

wenn ja wie gehts weiter ??

du hast es doch fast schon bewiesen Prost

Prost

denn $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n}\cdot (1+x) \geq (1+nx) (1+x) = 1+x+nx+nx^{2} \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} nx^{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1+x)^{n}\cdot (1+x) \geq (1+nx) (1+x) = 1+x+nx+nx^{2}\geq 1+x+nx = 1+(n+1)x \ q.e.d. \end{eqnarray*}$

20.03.2006, 22:04

Lazarus

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@ Dakrari: ich denke nicht das Komplettlösungen so hilfreich sind wie eine selbsterarbeitete Lösung. Und ich denke weiterhin das der großteil der Boardes mit mir da übereinstimmt.

servus

20.03.2006, 22:30

h4ck

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@ daktari....

verstehe nicht ganz wie du auf diese zeile kommst unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 1+x+nx+nx^{2}\geq 1+x+nx = 1+(n+1)x \ q.e.d. \end{eqnarray*}$

kannst das evtl. untereinander aufschreibn ?? die ganzen gleichheitszeichen verwirren total und dann weiss ich aufieinma nie mehr welches wozu gehört : / :/

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20.03.2006, 22:48

Daktari

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Zitat:

Original von Lazarus
@ Dakrari: ich denke nicht das Komplettlösungen so hilfreich sind wie eine selbsterarbeitete Lösung. Und ich denke weiterhin das der großteil der Boardes mit mir da übereinstimmt.

servus

sry, aber das stand schon fast da...

@h4ck
dein Beweis stimmt bis zu der Stelle wo du die Frage ins Board gestellt hast.
Du musst die Klammern ausrechnen nach rechts musst du "es kleiner machen" durch geschicktes abschätzen so dass das dasteht, was rauskommen soll.
Das ist ja das tolle an solchen Abschätzformlen die per Induktion zu zeigen sind: das was dir nicht passt fliegt raus smile

smile

Mehr darf ich jetzt nicht mehr dazu sagen Big Laugh

Big Laugh

21.03.2006, 12:14

h4ck

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verstehe leider immer noch nicht wie du auf

$\begin{eqnarray*} 1+x+nx+nx^{2}\geq 1+x+nx = 1+(n+1)x \ q.e.d. \end{eqnarray*}$

kommst..... unglücklich

unglücklich

und die letzte zeile des beweises lautet ja

$\begin{eqnarray*} 1+x+nx+nx^{2}\geq 1+x+nx = 1+(n+1)x \ q.e.d. \end{eqnarray*}$

wodran sieht man denn da dass es bewiesen ist ???

21.03.2006, 12:20

AD

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$\begin{eqnarray*} 1+x+nx+nx^{2}\geq 1+x+nx \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} nx^{2}\geq 0 \end{eqnarray*}$ , und das ist eine wahre Aussage! Anfangs- und Endpunkt der Ungleichungskette

Zitat:

Original von Daktari
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (1+x)^{n}\cdot (1+x) \geq (1+nx) (1+x) = 1+x+nx+nx^{2}\geq 1+x+nx = 1+(n+1)x \ q.e.d. \end{eqnarray*}$

ergeben somit

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+(n+1)x \end{eqnarray*}$ ,

und damit ist die Induktionbehauptung bewiesen!

21.03.2006, 12:34

h4ck

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aber woher kommtdenn das 1 + x + nx ?????

21.03.2006, 12:41

h4ck

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ich verstehnich wie ihr von
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n}\cdot (1+x) \geq (1+nx) (1+x) \end{eqnarray*}$
zu
$\begin{eqnarray*} 1+x+nx+nx^{2}\geq 1+x+nx \end{eqnarray*}$

kommt ?? was habt ihr da mit der linken seite gemacht ???

21.03.2006, 13:29

AD

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Du verstehst nicht, wieso $\begin{eqnarray*} (1+nx)(1+x)=1+x+nx+nx^2 \end{eqnarray*}$ ist? Einfach mal ausmultiplizieren, also Klammern auflösen!!!

21.03.2006, 13:34

h4ck

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na klar versteh ich das....abba wie kommt man auf das > 1+x+nx????

und was passiert mit dem (1+x)^n (1+x)...

mir fehlt einfach ein schritt scheinbar...

21.03.2006, 13:37

AD

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Stand alles schon da:

Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} 1+x+nx+nx^{2}\geq 1+x+nx \end{eqnarray*}$ ist äquivalent zu $\begin{eqnarray*} nx^{2}\geq 0 \end{eqnarray*}$

Einfach $\begin{eqnarray*} 1+x+nx \end{eqnarray*}$ von beiden Seiten abziehen - oder hast du noch nie von äquivalenten Ungleichungsumformungen gehört?

21.03.2006, 13:48

Daktari

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Ws gilt: $\begin{eqnarray*} n > 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$

was passiert wohl mit dem Ausdruck, wenn man $\begin{eqnarray*} nx^{2} \end{eqnarray*}$ weglässt ?

21.03.2006, 13:52

Daktari

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Zitat:

Original von h4ck
na klar versteh ich das....abba wie kommt man auf das > 1+x+nx????

und was passiert mit dem (1+x)^n (1+x)...

mir fehlt einfach ein schritt scheinbar...

Auf $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \end{eqnarray*}$ wird die Induktionsbehauptung angewandt. Also $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq (1+nx) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ bleibt stehen. Dann musste noch die Klammern ausmultiplizieren und "dir über meinen vorherigen Post" Gedanken machen

21.03.2006, 14:58

h4ck

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ich fass jetzt mal kurz zusamm wie ich den ganzen beweis verstanden hab:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+xn \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} (1+x) \geq (1+xn) (1+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} (1+x) \geq 1+x+xn+x^{2} n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} (1+x) \geq 1+x+nx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} (1+x) \geq x(1+n)+1 \end{eqnarray*}$

is das richtig ???

also wenn ja , versteh ich zB nicht warum das nx^2 wegfällt ? weil x>=o
ist ?? wieso fallen dann die anderen xn zB nich weg ???

so und wenn das alles richtig ist , wodran seh ich , dass dies der beweis ist ?? also ich seh einfahc nich wieso die letzte linke-seite größer , gleich der letzten rechten seite ist.....

unglücklich

unglücklich

unglücklich

villt denk ich auch einfahc nur bisschen zu kompliziert und überseh die ganze zeit was

21.03.2006, 15:12

klarsoweit

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Ich mache mal ein paar Kommentare dran:
Es geht um den Induktionsschritt. Da wird angenommen, daß gilt:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+xn \end{eqnarray*}$
Es ist zu zeigen, daß dies dann auch für das nächste n, also n+1 gilt:
Die entsprechende Ungleichung lautet:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x \cdot(n+1) \end{eqnarray*}$

Nun nehmen wir uns mal die linke Seite:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} = (1+x)^{n} (1+x) \end{eqnarray*}$

Jetzt die Induktionsvoraussetzung einsetzen:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq (1+xn) (1+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x+xn+x^{2} n \end{eqnarray*}$

Jetzt lassen wir das x²*n einfach weg. Dadurch wird die rechte Seite noch kleiner. Also ist:
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x+nx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq x(1+n)+1 \end{eqnarray*}$
Und genau das war zu zeigen.

21.03.2006, 15:34

h4ck

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traurig

also langsam zweifle ich wirklich sehr an mir selbst unglücklich

unglücklich

erst sagst du dass,

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x \cdot(n+1) \end{eqnarray*}$

ist....

und aufeinmal haben wir

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq (1+xn) (1+x) \end{eqnarray*}$

das kapier ich einfach nicht .... ich bin echt richtig am verzweifeln ....
traurig

traurig

traurig

21.03.2006, 15:50

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von h4ck
erst sagst du dass,

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x \cdot(n+1) \end{eqnarray*}$

ist....

Ich habe nicht gesagt, daß $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x \cdot(n+1) \end{eqnarray*}$ ist, sondern daß das zu zeigen ist. Dabei darf die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+xn \end{eqnarray*}$ verwendet werden.

Zitat:

Original von h4ck
und aufeinmal haben wir

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq (1+xn) (1+x) \end{eqnarray*}$

Ich habe in dem Term $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ das $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 1+xn \end{eqnarray*}$ ersetzt. Dadurch wird der Term $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \cdot (1+x) \end{eqnarray*}$ , der dasselbe wie $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist, kleiner oder bleibt gleich. Also haben wir:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq (1+xn) (1+x) \end{eqnarray*}$

21.03.2006, 16:33

h4ck

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ja so weit war ich doch am anfang auch schon

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} (1+x) \geq (1+xn) (1+x) \end{eqnarray*}$

aber wie geht es jetzt weiter ???

setzte ich auf der linken seite für $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+xn \end{eqnarray*}$ ein ??

dass da steht:

$\begin{eqnarray*} (1+xn) (1+x) \geq (1+xn) (1+x) \end{eqnarray*}$

oder wie geht es weiter ?? ihr habt doch auf der linken seite nie was verändert sondern nur die rechte und aufeinmal stand dann da

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} (1+x) \geq x(1+n)+1 \end{eqnarray*}$

das kapier ich nich..... traurig

traurig

traurig

traurig

traurig

traurig

traurig

21.03.2006, 16:37

AD

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Nimm mir's nicht übel, aber: Warum ist dir dieser Beweis so wichtig?

21.03.2006, 16:40

Daktari

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Da der Beweis mittlerweile schon komplett in diesem Thread geführt wurde, fass ich ihn nun mal ausführlicher als ausführlich zusammen

Du sollst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+xn \end{eqnarray*}$ gilt.
Dies macht man mit der Vollständigen Induktion.

Prinzip:
1.)Du zeigst dass die Behauptung für n=1 gilt. (Induktionsanfang)
2.)Dann kannst du annehmen, dass die Behauptung wahr ist für alle Zahlen $\begin{eqnarray*} \leq n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (Induktionsvoraussetzung)
3.)Dann setzt du im Induktionsschluss n zu n+1 und zeigst, dass die Behauptung auch für n+1 stimmt.
Also du musst nun zeigen dass $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x(n+1) \end{eqnarray*}$ gilt. Dazu "sucht" man sich im Induktionsschritt die Induktionsvoraussetzung und wendet sie an.

Du beginnst mit dem Induktionsanfang (n=1)
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{1} \leq 1+x*1 \end{eqnarray*}$ dies ist offensichtlich wahr

Sei nun die Behauptung für alle Zahlen $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ bewiesen (Induktionsvoraussetzung)

Zeige nun $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x(n+1) \end{eqnarray*}$ (Induktionsschritt)

Anmerkung: in dieser Gleichung steht $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$
d.h. du musst eventuell durch geschicktes "weglassen" von Werten die $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sind die "linke Seite" zerkleinern, dass am Ende $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x(n+1) \end{eqnarray*}$ dasteht.

Ab ans Werk
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}(1+x) \end{eqnarray*}$ Das ist ein Potenzgesetz.
Nun freut man sich Tanzen

Tanzen

da hier ein "n" steht, denn darauf kann man die Induktionsvoraussetzung $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+xn \end{eqnarray*}$ anwenden.

Also hast du hier nun folgendes stehen
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}(1+x) \geq (1+xn)(1+x) \end{eqnarray*}$ (nach induktionsvoraussetzung)
Das $\begin{eqnarray*} (1+x) \end{eqnarray*}$ , also die zweite Klammer, bleibt einfach stehen, (du veränderst hier ja nichts).
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}=(1+x)^{n}(1+x) \geq (1+xn)(1+x) =1+x+x*n+n*x^{2} \end{eqnarray*}$ Das ist einfach nur "ausrechnen"

Damit steht bei dir nun $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x+x*n+n*x^{2} <br /> \end{eqnarray*}$ Das sieht doch fast schon so aus wie das was man zeigen soll. Zu zeigen ist nämlich $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x+x*n = 1+x(n+1) \end{eqnarray*}$

Was stört uns nun? richtig das $\begin{eqnarray*} n*x^{2} \end{eqnarray*}$
Jetzt musst du dir in Erinnerung rufen, dass man bei solchen Beweisen mit Ungleichheitszeichen sich durch richtiges Abschätzen ans Ziel bringt

Da $\begin{eqnarray*} n*x^{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \ und \ x^{2} \geq 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Damit wird $\begin{eqnarray*} 1+x+x*n+n*x^{2} \end{eqnarray*}$ kleiner (bzw im Ausnahmefall $\begin{eqnarray*} n*x^{2} \end{eqnarray*}$ bleibts gleich) wenn man $\begin{eqnarray*} n*x^{2} \end{eqnarray*}$ weglässt

Somit folgt
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x+x*n+n*x^{2} \geq 1+x+x*n=1+x(n+1) \end{eqnarray*}$
Damit hast du nun
$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x(n+1) \end{eqnarray*}$ dastehen, aber genau das war zu zeigen q.e.d.

Besser kann man's eigentlich nicht erklären Klo

Klo

21.03.2006, 16:41

h4ck

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1) weil ich mich das richtig ärgert wenn ich sowas nich rausbekomme bzw nich verstehe und nur die lösung da hin knalle....

2) weil ich 4 aufgaben beweisen muss für die schule als ersatzleistung einer klausur dh. ich muss diese 4 beweise rauskriegen...und der hier is der vorletzte

21.03.2006, 16:43

Daktari

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Hast du es nun verstanden? Mit Zunge

Mit Zunge

21.03.2006, 16:53

h4ck

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traurig

traurig

keine angst das sind freudenträääääänen smile

smile

smile

smile

daaaaaaaaaaaaaaaanke daktari..genau sowas hat mir gefehlt:

der satz wie " Damit steht bei dir nun $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x+x*n+n*x^{2} <br /> \end{eqnarray*}$ Das sieht doch fast schon so aus wie das was man zeigen soll. Zu zeigen ist nämlich $\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1} \geq 1+x+x*n = 1+x(n+1) \end{eqnarray*}$ "

oder

Damit wird $\begin{eqnarray*} 1+x+x*n+n*x^{2} \end{eqnarray*}$ kleiner (bzw im Ausnahmefall $\begin{eqnarray*} n*x^{2} \end{eqnarray*}$ bleibts gleich) wenn man $\begin{eqnarray*} n*x^{2} \end{eqnarray*}$ weglässt

das waren beides die probleme die ich hatte vorallem dass mit dem dass zu zeigen war.....endlich...!!! genau sowas hat mir gefehlt...ich bin schon soooo durcheinander gekomm mit dem ganzen kram und wusst einfach gar nichts mehr !! vielen vielen vielen vielen vielen vielen
vielen vielen dank an ALLLLLLLEEEEE und noch besonders großen dank an daktari der mir das am ende noch so mühevoll erklärt hat !! echt klassse !!!

21.03.2006, 16:54

h4ck

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daktari -> Mit Zunge

Mit Zunge

<- h4ck

hihihi Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.03.2006, 17:25

Daktari

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ALLE Induktionsbeweise beruhen auf diesem Prinzip...
Induktionsannahme ---> Beh. Ok ---> n->n+1 ---> Induktionsvoraussetzung suchen und anwenden ---> q.e.d.

Aber wenn dir ne Aufgabe doch mal Probleme macht...
"Hier (im Matheboard) werden Sie geholfen" Prost

Prost

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