Problem mit Linearkombination

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aka Auf diesen Beitrag antworten »
Problem mit Linearkombination
Hallo
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Gegeben sind folgende Vektoren



a)bestimmen die alpha und beta so sodaß c senkrecht auf a und b steht.

b)welcher Zusammenhag muss schwischen alpha und beta bestehen sodaß c eine Linearkombination aus a und b ist.

-------------------------------------------------------
Wenn ich a) fertig bearbeitet habe bekomme ich für und
(Kreuzprodukt multi. mit -4)

b) hatte ich so versucht zu bearbeiten das ich Vektor c mit dem bestimmten Werten (8,-12) als Linearkombination darzustellen. Ich hab dabei aber ein ganz schlechtes Gefühl. Wenn ich mir eine Linarkombination bildlich vorstelle so werden doch die Vektoren a und b mit einen faktor (zb. x) multi. sodaß bei zusammen betragsmäßig vektor c ergeben.
also:

Mein ermittelter Vektor c mit den Koordinaten steht aber senkrecht auf a und b und kann ja somit keine Linearkombination aus a und b sein.

Jetzt hätte ich noch die Möglichkeit alle mir von Anfang an geg. Werte in 3 Gleichungss. aufzuschreiben:





nur weiß ich jetzt nicht wie ich einen sinvollen Zusammenhang von alpha und beta bekomme. Ich gehe mal davon aus das ich daß Ganze nicht explizit lösen soll (bei 3 Gleichungen und 4 Unbek. nicht möglich). Wenn ich jetzt zb. Gleichung 2 nach x1 umstelle und die 3. nach x2 und das dann in die 1. Gleichung einsetze würde das Sinn machen ?



bitte schreibt was ihr dazu denkt.
(Ps: bitte verschiebt den Beitrag wenn er hier nicht reinpasst)
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit Linearkombination
Mit einem \ davor, sieht es viel schöner aus.



a und sind sofort erkennbar linear unabhängig, spannen also einen Ebene im IR³ auf. Auf dieser soll c senkrecht stehen. Kreuzprodukt ist die richtige Idee.



Nun eben entsprechend anpassen, liefert:

Freude


Bei b) stellen wir mal den linearen Kombinationsansatz auf:



Das liefert ja 3 Gleichungen. Nun ist geometrisch schon klar, dass es unendlich viele Lösungen geben wird. Denn wir fordern ja z.B. gar nichts über die Länge des Vektors c. Daher kann als Ergbenis bestenfalls in Abhängigkeit von herauskommen.



Damit ergibt sich dann:





Nun umstellen und die Variable s eliminieren.









Probe:






Vielleicht prüfst Du es auch nochmal mit anderen Zahlenwerten, um Tippfehler Augenzwinkern meinerseits auszuschließen.
aka Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Problem mit Linearkombination
Zitat:
Original von tigerbine

Bei b) stellen wir mal den linearen Kombinationsansatz auf:



Das liefert ja 3 Gleichungen. Nun ist geometrisch schon klar, dass es unendlich viele Lösungen geben wird. Denn wir fordern ja z.B. gar nichts über die Länge des Vektors c. Daher kann als Ergbenis bestenfalls in Abhängigkeit von herauskommen.




Also die Rechnung kann ich voll und ganz nachvollziehen, jedoch kann ich mit der Begründung (Ziat) vom Verständnis her nicht viel anfangen traurig
Wäre es vieleicht möglich mir das ganze nochmal etwas (für mich= Mathe-null)
verständlicher zu erklären?

Ng
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Naja es gibt unendlich viele Arten einen Vektor c (4/y/z) durch Addition von Vielfachen der Vektoren a und b darzustellen. Müsste der Vektor c eine ganz bestimmte Länge haben dann wäre dem nicht so.
aka Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, dadurch das der Vektor c ja keine feste länge hat (Aufgrund alpha und beta) kann man die zu darstellung benötigten Faktoren nicht eindeutig bestimmen, da Vektor c in seiner Länge beliebig veränderlich ist -> unendlich viele Lösungen
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

So ungefähr, ja. Allerdings wären alpha und beta gegeben, dann könnte es auch sein das sich c überhaupt nicht durch a und b darstellen lässt ...
Du kannst dir das im Prinzip so vorstellen : du hast a und b die länge die diese haben ist frei wählbar nur die Richtung ist fix. Jetzt musst du sie so aneinander hängen das du zu einem Punkt kommst der die x - Koordinate 4 hat. ---> das kannst du auf unendlich viele Arten machen.
 
 
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