Buffonsche Nadelprobe

21.03.2006, 15:10

tommy07

Buffonsche Nadelprobe

Hallo,
ich mache irgendwas falsch bei der Buffonschen Nadelprobe. Die Aufgabenstellung ist folgende:

Eine Nadel der Länge a wird auf ein Brett der Breite b geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet die Nadel die Brettkante.

ich hab die aufgabe fast richtig... nur irgendwo hab ich einen Fehler gemacht.

Ich hab gesagt, dass die Nadel das Brett berührt, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} sin \alpha=\frac{2x}{a} \end{eqnarray*}$ x ist der Abstand des Mittelpunktes von der Kante. Man kann das Umformen und die Bedingung dafür aufstellen, dass die Nadel das Brett schneidet.
$\begin{eqnarray*} x<sin \alpha \cdot a/2 \end{eqnarray*}$ für alle Wertepaare, für die diese Bedingung erfüllt ist, trfft das Ereignis zu. dieses habe ich deswegen interiert und den Flächeninhalt unter der Kurve von 0 bis pi berechnet.

$\begin{eqnarray*} F(\alpha)=-a/2*cos \alpha \end{eqnarray*}$ Wenn ich dieses jetzt durch den "Flächeninhalt" aller möglichen Ereignisse, der meiner Meinung nach b/2*pi ist, dann bekomme ich eine Wahrscheinlichkeit von.

$\begin{eqnarray*} P(E)=\frac{a}{b \pi} \end{eqnarray*}$

Es soll aber genau doppelt so viel herauskommen.

Wisst ihr, wo mein Fehler ist??

21.03.2006, 16:35

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RE: Buffonsche Nadelprobe

Zitat:

Original von tommy07
Eine Nadel der Länge a wird auf ein Brett der Breite b geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit schneidet die Nadel die Brettkante.

Eine merkwürdige und deshalb auch missverständliche Formulierung des Buffon-Problems! Wie wird die Nadel drauf geworfen, und außerdem gibt es zwei Brettkanten.

Normalerweise formuliert man das Buffon-Problem mit einer ganzen Reihe parallel und dicht nebeneinanderliegender Bretter derselben Breite b - dann spielt das genannte Problem, wie die Nadel geworfen wird, nämlich keine so entscheidende Rolle mehr!

Außerdem hast du vergessen anzugeben, dass du nur $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ betrachtest, ansonsten ist nämlich die Wahrscheinlichkeitsformel $\begin{eqnarray*} \frac{2a}{\pi b} \end{eqnarray*}$ schlicht falsch, wie man sich z.B. im Fall $\begin{eqnarray*} a=2b \end{eqnarray*}$ leicht überzeugen kann... Augenzwinkern

21.03.2006, 16:42

Leopold

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Unterstellen wir, daß die von Arthur angesprochenen Undeutlichkeiten in seinem Sinne klargestellt sind, so stimmt meiner Ansicht nach dein Ansatz. Du mußt dich daher verrechnet haben. Ich bekomme

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{b \pi} \int_0^{\pi}~\frac{a}{2} \, \sin{\alpha}~\mathrm{d}\alpha = \frac{a}{b \pi} \int_0^{\pi}~\sin{\alpha}~\mathrm{d}\alpha = \frac{2a}{b \pi} \end{eqnarray*}$

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