Mittelwertsatz der Differentialrechnung |
| 20.06.2008, 16:17 | hyperbel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Mittelwertsatz der Differentialrechnung Ich hab heute eine Klausur geschrieben und wusste auf eine Frage keine Antwort bescheid. Mich interessiert es aber, was herauskommen würde. Also wir hatten folgenden Satz: "Ist ein Polynom vom Grad n mit n verschiedenen rellen Nullstellen an den Rändern eines Intervalls [a,b] null ( d.h. f(a)=0 und f(b)=0 ) und innerhalb dieses Intervalls differenzierbar, so hat diese Funktion innerhalb dieses Intervalls mindestens ein Extremum mit f'(x)=0 und dieser liegt zwischen der kleinsten und größten Nullstelle des Polynoms..." So ungefähr lautete die Aufgabe. Und diesen Satz sollten wir beweisen. Ist das nicht der Satz von Rolle? Das war ja ok, den hab ich bewiesen(ka ob der Beweis richtig ist :p) aber nun zu meiner Frage: Gefragt war, was passieren würde, wenn die Voraussetzung über die Nullstellen nicht gegeben wäre... Darauf wusste ich keine Antwort, will es aber gerne wissen. Was würde denn passieren? Weiß jemand darauf eine Antwort? |
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| 20.06.2008, 16:28 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Das ist nicht direkt der Satz von Rolle, sondern ein Spezielfall davon. (beim allgemeinen Satz würde man nur f(a) = f(b) fordern). Was meinst Du mit der "Voraussetzung über die Nullstellen"? |
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| 20.06.2008, 19:03 | hyperbel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, in dem Spezialfall, also in dem Satz, den ich gepostet habe, wird ja vorausgesetzt, dass f(a)=f(b)=0 sein soll, dass also a und b jeweils Nullstellen bilden. Gefragt war, was passieren würde, wenn die Bedingung der nullstelle nicht gegeben wäre...Mein prof meinte hinterher als ich ihn fragte, dass dann der Satz, den ich gepostet habe, nicht mehr gültig wäre. Ich kann mir leider nicht ausmalen warum 
und würde es gern wissen... |
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| 20.06.2008, 20:09 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn eine Funktion in einem abgeschlossenen Intervall [a; b] (mit a < b) differenzierbar ist und es ein c mit a < c < b gibt, sodass f(c) >/= f(a), f(b), dann hat die Funktion im Intervall [a; b] ein lokales Maximum. f ist im abgeschlossenen Intervall [a; b] stetig (da differenzierbar), also hat f|[a;b] ein globales Maximum. Damit das Maximum auf jeden Fall lokales Maximum von f ist, muss sichergestellt sein, dass es nicht (nur) an den Rändern des Intervalls eingenommen werden (wofür die obige "c-Bedingung" sorgt). Denn nur dann findet man auf jeden Fall eine Umgebung um die Maximalstelle, sodass zu allen Stellen in dieser Umgebung die FUnktionswerte kleiner/gleich dem Maximum sind. (so fordert es ja die Definition des lokalen Maximums) Beim lokalen Minimum entsprechend... Die Nullstellen-Bedingung (nur endlich viele Nullstellen) sorgt dafür, dass der Graph die x-Achse im Intervall [a;b] auch irgendwann wieder verlässt. Also exisitiert das oben genannte "c". Sobald die Nullstellen-Bedingung wegfällt, ist nicht mehr gesagt, dass die FUnktion im Intervall ein lokales Extremum hat. |
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| 20.06.2008, 21:33 | hyperbel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Aso, ich verstehe jetzt. Wenn die Nullstellenbedingung wegfällt, kann es ja passieren, dass wir im genannten Intervall mehrere lokale Extremstellen haben oder sogar gar keine. Aber ich kann mir das nicht so richtig vorstellen. Wenn ich ein Intervall [a;b] einer Funktion f betrachte, die in diesem Intervall differenzierbar und stetig ist: wie kann so eine Funktion denn aussehen, wenn sie in diesem Intervall keine Extremstelle besitzt? Ich dachte mir es könnten folgende Szenarien eintreten: - es könnte doch eine parallele zur x-achse sein(also f(a)=f(b) - wenn f(b)>f(a) ist, dann könnte es ein lineares Polynom sein ... aber trotzdem wird mir das klar. Ich hätte mir vllt in der klausur sowas mal aufzeichnen sollen, dann wäre es mir vllt auch aufgefallen...und ich hätte nun mehr Punkte 
Danke für deine tolle Erklärung. Jetzt kann ich wieder beruhigt schlafen 
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| 20.06.2008, 21:55 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also wenn man die Bedingung f(a) = f(b) noch beibehielte (was man aber wohl gerade nicht machen soll), dann gibt es schon ein lokales Extremum im Intervall: Entweder die Funktion ist im Intervall konstant, dann sind alle inneren Punkte sowohl lokale Maxima als auch lokale Minima. Oder die Funktion ist nicht konstant, dann gibt es wieder ein "c", weil ja wegen der "Nicht-Konstantheit" irgendein innerer Punkt einen größeren oder kleineren FUnktionswert als die Randpunkte haben muss. Ansonsten kann es auch ein lokales Extremum geben -- aber es braucht keins zu geben. Das ist das Entscheidende... |
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| 20.06.2008, 22:02 | hyperbel | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oki, jetzt hab ich es komplett verstanden. Danke für deine Erklärung! 
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