Ableitungen zu trigonometrischen funktionen

21.03.2006, 19:03

Ableitungen zu trigonometrischen funktionen

hi
wie gehen die ersten und zweiten ableitungen zu folgenden funktionen
1) $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x^2) \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} f(x)=cos(x^3+3) \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x^2)+cos(x^2) \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x^3+x^2+x)\cdot cos(x^3+x^2+x) \end{eqnarray*}$

das weiss ich z.b.

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-sin(x) \end{eqnarray*}$

wie gehen die anderen 4?

danke

21.03.2006, 19:27

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Stichworte:
Kettenregel, Produktregel

Summen gliedweise ableiten....

21.03.2006, 20:36

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) $\begin{eqnarray*} f'(x)=2xcos(x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-4x^2sin(x^2) \end{eqnarray*}$

zu2) f' $\begin{eqnarray*} (x)=-3x^2sin(x^3+3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=9x^4cos(x^3+3) \end{eqnarray*}$

zu3) $\begin{eqnarray*} f'(x)=2xcos(x^2)-2xsin(x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-4x^2sin(x^2)+4x^2cos(x^2) \end{eqnarray*}$

zu4) ich habe keine lust jetzt vier abzuleiten, daher ein kleineres/(muss morgen klausur, daher habe noch anderes zu tun)

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x^2+x)*cos(x^2+x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=(2xcos(x^2+x)+cos(x^2+x)))*cos(x^2+x))+((-2xsin(x^2+x)-sin(x^2+x))*sin(x^2+x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=2x((cos(x^2+x))^2+(cos(x^2+x))^2-2x(sin(x^2+x))^2-(sin(x^2+x))^2 \end{eqnarray*}$

zweite ableitung lass ich mal sein
ist alles richtig?

21.03.2006, 20:56

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG
zu 1) $\begin{eqnarray*} f'(x)=2xcos(x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-4x^2sin(x^2) \end{eqnarray*}$

zu2) f' $\begin{eqnarray*} (x)=-3x^2sin(x^3+3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=9x^4cos(x^3+3) \end{eqnarray*}$

zu3) $\begin{eqnarray*} f'(x)=2xcos(x^2)-2xsin(x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-4x^2sin(x^2)+4x^2cos(x^2) \end{eqnarray*}$

f' stimmt je, f'' nie

Stichwort: Produktregel

21.03.2006, 21:01

Auf diesen Beitrag antworten »

bei der ersten ableitung habe ich doch auch net produktregel angewandt?
kannst du mir das bitte schnell erklären, habe echt keine zeit mehr. vielleicht beende ich das morgen.

vielen dank

21.03.2006, 21:02

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von PG
bei der ersten ableitung habe ich doch auch net produktregel angewandt?

da hattest du auch noch kein Produkt smile

aber durch die innere Ableitung der KR wird f'' dann zu einem PR-Fall

21.03.2006, 21:10

Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt...
also ich habe das verstanden , aber muss jetzt für eine andere klausur lernen.
ich mache dann morgen doppelpost, wenn ich darf,damit du das bitte überprüfen kannst und weisst, dass ich geantwortet habe.

vielen dank für die hilfe

21.03.2006, 21:13

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

brauchst keinen DP zu machen, ich nutze die Gelegenheit noch, dir für deine Klausur viel Glück zu wünschen Big Laugh

22.03.2006, 13:43

Auf diesen Beitrag antworten »

hi
ich bin es wieder. puh klausur war einfacher als gedacht. so machen wir weiter:

zu 1) $\begin{eqnarray*} f'(x)=2xcos(x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2*cos(x^2)-2x*2xsin(x^2)=2cos(x^2)-4x^2sin(x^2) \end{eqnarray*}$

zu2) f' $\begin{eqnarray*} (x)=-3x^2sin(x^3+3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-6x*sin(x^3+3)-3x^2*3xcos(x^3+3)=-6xsin(x^3+3)--9x^3cos(x^3+3) \end{eqnarray*}$

zu3) $\begin{eqnarray*} f'(x)=2xcos(x^2)-2xsin(x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2*cos(x^2)-4x^2sin(x^2)-2sin(x^2)+4x^2cos(x^2) \end{eqnarray*}$

die vier lassen wir mal, weil es sonst zuuuuu groß wird.

22.03.2006, 14:42

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

2) f'' ist ein Minus zu viel => Tiprfehler
3) f'' wieso steht da ein + vor dem letzten Summanden?

achja, ausklammern wäre auch noch schön, vor allem bei 3) smile

22.03.2006, 16:13

Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) $\begin{eqnarray*} f'(x)=2xcos(x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=2*cos(x^2)-2x*2xsin(x^2)=2cos(x^2)-4x^2sin(x^2) \end{eqnarray*}$

zu2) f' $\begin{eqnarray*} (x)=-3x^2sin(x^3+3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-6x*sin(x^3+3)-3x^2*3x^2cos(x^3+3)=-6xsin(x^3+3)-9x^4cos(x^3+3) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-3x\cdot(2sin(x^3+3)+3x^3cos(x^3+3)) \end{eqnarray*}$

zu3) $\begin{eqnarray*} f'(x)=2xcos(x^2)-2xsin(x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2*cos(x^2)-4x^2sin(x^2)-2sin(x^2)-4x^2cos(x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2*(cos(x^2)-sin(x^2))-4x^2(sin(x^2+cos(x^2)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=2\cdot((cos(x^2)-sin(x^2))-2x^2(sin(x^2)+cos(x^2))) \end{eqnarray*}$

es müsste alles richtig sein(habs geprüft mit plotter). kann man weiter vereinfachen?

Zitat:

3) f'' wieso steht da ein + vor dem letzten Summanden?

ich habe da ein plus getippt, weil ich am anfang dachte, dass es -sin... ist und daher zu -cos wird und dann wandelt es sich ja zum plus, aber ich habe gemerkt, dass das vorzeichen zum multiplikator 4x^2 gehört.

22.03.2006, 16:25

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

hehe, stimmt bei deiner Version von 2) f'' oben hatte ja noch eine x-Potenz gefehlt, das habe ich ganz übersehen...

ich hätte bei der 3) übrigens eher nach sin(x^2) und cos(x^2) sortiert...
so etwa:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=2*cos(x^2)-4x^2sin(x^2)-2sin(x^2)-4x^2cos(x^2)=(2-4x^2)\cos(x^2)-(2+4x^2)\sin(x^2) \end{eqnarray*}$
schade mit dem VZfehler von oben hätte man jetzt noch viel doller vereinfachen können smile

aber scheint nun alles zu stimmen...

übrigens werden deine Funktionen besser dargestellt, wenn du "\cos", \sin" verwendest

22.03.2006, 16:43

Auf diesen Beitrag antworten »

ich weiss gar nicht, wie ich mich bei dir bedanken kann. Du hast mir wieder geholfen.

Danke Jochen

Neue Frage »

Antworten »

Ableitungen zu trigonometrischen funktionen

Verwandte Themen