Potenzreihenentwicklung für sin(xe^x)

21.03.2006, 20:20	mat	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihenentwicklung für sin(xe^x) Hi, könnte mir jemand einen Tipp geben, wie ich $\begin{eqnarray} x \mapsto \sin(x \cdot e^x) \end{eqnarray}$ in eine Potenzreihe der Form $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k \end{eqnarray}$ entwickle? Ich komme dabei nicht voran. Man kann das ja als Komposition von Potenzreihen schreiben, also so: $\begin{eqnarray} \sin (e^{x+ln(x)}) \end{eqnarray}$ und dann die bekannten Potenzreihen einsetzen, aber das führt mich auch nicht weiter, oder? Jedenfalls komme ich dabei nicht weit. Ich hatte dann versucht einfach ein paar $\begin{eqnarray} a_k x^k \end{eqnarray}$ auszurechnen um einen Ausdruck für die $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ zu finden. Da bekomme ich aber das $\begin{eqnarray} e^x \end{eqnarray}$ nicht weg.
22.03.2006, 00:09	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihenentwicklung für sin(xe^x) Wenn schon so, wäre der Ansatz: $\begin{eqnarray} \sin(x \cdot e^x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = sin(x \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = sin(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{k!}) \end{eqnarray*}$ . Damit müsste sich weiterrechnen lassen. Grüße Abakus
26.03.2006, 11:41	ebbelwoi	Auf diesen Beitrag antworten »
mein Tipp wäre hier die Taylor-Reihe um "0" zu verwenden, das könnte zwar ziemlich häßlich werden, aber vllt hast du dann nach zwei drei Summanden raus, wie die Reihe aussehen muss Gruß
27.03.2006, 02:18	glocke	Auf diesen Beitrag antworten »
also mich interessiert die Aufgabe auch. es wäre schön, wenn abakus noch etwas mehr dazu sagen könnte greez glocke EDIT: ach ja - ich habe mir die ersten paar elemente der taylorentwicklung von mathematica berechnen lassen, es kam aber nichts dabei heraus, was auf ein schema deutet, zumindest (ersteinmal nicht). hier die ersten 9 folgenglieder: $\begin{eqnarray} x+x^{2}+x^{3}/3 -x^{4}/3-7x^{5}/10-7x^{6}/10-16x^{7}/35-52x^{8}/315+197x^{9}/4536 \end{eqnarray}$
27.03.2006, 14:27	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihenentwicklung für sin(xe^x) Ich kann 2 Möglichkeiten anbieten da weiterzukommen: 1. $\begin{eqnarray} ... = sin(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{k!}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{k!}) - \frac{1}{3!}(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{k!})^3 + \frac{1}{5!}(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k+1}}{k!})^5 - ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = x + x^2 + x^3 (\frac{1}{2}-\frac{1}{3!}) + x^4 * (\frac{1}{3!}-\frac{1}{3!}3) + x^5 (\frac{1}{4!}-\frac{1}{3!}3\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}3+\frac{1}{5!}) + ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = x + x^2 + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{3} -\frac{7x^5}{10} + ... \end{eqnarray}$ . Glocke ist hier aber bereits weiter gekommen. Jedenfalls lässt sich jeder Koeffizient mit dieser Methode so berechnen. 2. Hier nochmal anders gerechnet: $\begin{eqnarray} sin(xe^x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{xe^x}{1!} - \frac{x^3e^{3x}}{3!} + \frac{x^5e^{5x}}{5!} - \frac{x^7e^{7x}}{7!} + ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = (x + x^2 + \frac{x^3}{2!} + \frac{x^4}{3!} + ...) - \frac{1}{3!} (x^3 + 3x^4 + \frac{9x^5}{2!} + \frac{27x^6}{3!} + ...) + \frac{1}{5!} * (x^5 + 5x^6 + \frac{25x^7}{2!} + ...) - \frac{1}{7!} * (x^7 + 7x^8 + ...) + ... \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = x + x^2 + x^3 * (\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}) + x^4 * (\frac{1}{3!}-3\frac{1}{3!}) + x^5 (\frac{1}{4!}-\frac{1}{3!}\frac{27}{3!}+5\frac{1}{5!}) + x^6 * (...) + ... \end{eqnarray*}$ Diese Möglichkeit ist etwas einfacher als die oben. Mit etwas Überlegen lässt sich hier ggf. eine Summenformel für die Koeffizienten hinschreiben. Grüße Abakus EDIT: Latex
27.03.2006, 14:34	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Umweg übers Komplexe war nicht unbedingt notwendig: Ähnlich 1. kommt man auch direkt über $\begin{eqnarray} \sin(xe^x) = xe^x - \frac{x^3e^{3x}}{3!} + \frac{x^5e^{5x}}{5!}-+\cdots \end{eqnarray}$ auf diese Form. EDIT: Hat sich durch dein Edit erledigt.
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