Integrationsgrenzen?

Neue Frage »

MArvell Auf diesen Beitrag antworten »
Integrationsgrenzen?
Hallo!

ich habe 3 Fragen zu dieser Aufgabe:

Ermitteln Sie das Volumen V des Körpers K durch Drefach-Integration, wobei K

durch x^2+y^2+z^2 -2z=0 (0<=z<=1) und x^2+y^2+z -2=0 (1<=z<=2) begrenzt wird.

_________________________

- wähle ich für beide gleichungen je einen bereich für x und einen für y (also insgesamt 4) oder wähle ich für beide Gleichungen einen für x und einen für y( also 2)

- muss ich jetzt den Bereich für x und y so wählen das die Gleichungen erfüllt werden

- welche Funktion integriere ich ? die identisch 1 ist?


Ich stehe ziemlich auf dem schlauch . Bitte gebt mir ein paar tipps...


gruß
Marvell
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Gleichungen lassen sich relativ leicht nach auflösen, so daß du den dreidimensionalen Bereich als Bereich zwischen den Graphen zweier Funktionen und (das sind also Flächen im dreidimensionalen Raum) auffassen kannst.





Das richtige Vorzeichen der Wurzel findet man mit der Bedingung heraus, und garantiert, daß im angegebenen Bereich liegt. Einfacher noch ist es bei der zweiten Gleichung:





Der Integrationsbereich liegt daher fest: , also die abgeschlossene Einheitskreisscheibe in der -Ebene. Damit man richtig herum subtrahiert, bleibt nur die Frage: Welche Fläche liegt in -Richtung weiter oben? Dazu schauen wir erst einmal, wo Gleichheit herrscht: .



Die linke Seite wird negativ, sobald ist. Die Gleichung ist daher nur für erfüllt, wenn also auf dem Kreisrand liegt. Aus Gründen der Stetigkeit muß überall sonst in der Kreisscheibe entweder nur oder nur gelten. Wegen und ist das erste der Fall. Das gesuchte Volumen ist daher



Und hier bieten sich Polarkoordinaten an. Oder gleich die Substitution (die ich zugegebenermaßen erst im nachhinein gesehen habe)

MArvell Auf diesen Beitrag antworten »

einen großen dank für die ausführliche antwort.

woran erkenne ich das es sich um flächen im Raum handelt und nicht um Grenzen. gibt es da etwas woran ich mich orientieren kann?
(auch wenn diese Frage vielleicht irgentwie klingt, ich weiß es leider nicht besser unglücklich )




viele Grüße

Marvell
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist nicht recht klar, wo deine Probleme liegen. Ob es zum Beispiel nur um meinen speziellen Lösungsansatz geht oder ob du, wofür einiges spricht, grundsätzlich nicht weißt, worum es hier geht.

Eigentlich habe ich in meiner Lösung nur Fubini angewandt. Im äußeren Integral habe ich über alle mit integriert, im Innern dann zu jedem fest gewählten über alle in Frage kommenden :



Das ist wie in der elementaren Analysis. Hat man dort zwei Funktionen und , für die über einem Intervall gilt, so muß man, um den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen (das sind Kurven) über diesem Intervall zu bekommen, über die Differenz integrieren.
Und hier ist alles eine Dimension höher: Die Graphen von und sind Flächen im dreidimensionalen Raum. Für den Rauminhalt zwischen den Flächen muß man über die Differenz der Funktionen integrieren.

Man muß das übrigens nicht so herum machen. Wenn man Fubini anders herum anwendet, also außen über die und innen über die zu jedem gehörigen integriert, kommt man sogar schneller zum Ziel. Löst man nämlich die erste Gleichung nach auf, also



so erkennt man hierin die Gleichung eines Kreises mit dem Radius . Bei der anderen Gleichung geht das entsprechend. Der Körper ist also bezüglich der -Achse rotationssymmetrisch. Wenn man nun bereits verwenden darf, daß der Kreis den Inhalt besitzt, hat man es fast schon:



Wenn du einmal genauer darüber nachdenkst, erkennst du hierin die aus der Schule bekannten Rotationskörper wieder. Zeichne in einem gewöhnlichen zweidimensionalen Koordinatensystem mit der Rechtsachse als -Achse die Graphen der Funktionen und mit





und lasse die Graphen um die -Achse rotieren. Dann bekommst du eine Vorstellung von dem Rotationskörper, dessen Volumen du in dieser Aufgabe berechnen sollst: Ein Paraboloid sitzt auf einer Halbkugel.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »