Eigenvektoren

20.06.2008, 21:55

Jasmin

Eigenvektoren

Hallo! Bitte hilft mir jemand weiter.
Von der Matrix

-4 -3 3
2 3 -6
-1 -3 0

Habe ich als Eigenwerte -3, 5 und -3 bestimmt.
Jetzt sollen dazu die Eigenvektoren bestimmt werden. Hier nun mein Problem:

Stze ich als Eigenwert -3 ein, dann steht für die
Lösungs-Matrix:

-1 -3 3 0
2 6 -6 0
-1 -3 3 0

Wie bitte kann man das umstellen, um x1,x2 und x3 für den Eigenvektor zu bestimmen? Ich kriege nur den Nullvektor raus (der ja nicht geht). Stimmen würde (-3, 1, 0). Wie kommt man darauf, wo ist mein Fehler.

20.06.2008, 22:29

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Jasmin
wo ist mein Fehler.

Das kann man dir nicht sagen, wenn du deinen Lösungsweg nicht postest. Aber die Matrix ist doch wunderbar: Sie hat den Rang Eins, die zweite und die dritte Zeile sind doch Vielfache der ersten! Der Kern muss also sogar zweidimensional sein. Und wie man den Kern einer solchen Abbildung bestimmt, sollte die bekannt sein, wenn du schon mit Eigenvektoren rumhantierst.

20.06.2008, 22:32

sqrt4

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Zunächst sieht man schnell ein, dass 2 der 3 Gleichungen keine neuen Infos enthalten (die 2. ist das (-2)- fache der ersten und die 3. ist identisch zur 1.)

Deshalb gibts hier auch 2 Eigenvektoren zum Eigenwert -3.

Deine Aufgabe ist, die Gleichung $\begin{eqnarray*} -x_1-3x_2+3x_3=0 \end{eqnarray*}$ zu parametrisieren, d.h. die Ebene wie sie momentan gegeben ist in eine Form $\begin{eqnarray*} \vec{r}+\lambda\cdot v_1+ \mu\cdot v_2 \end{eqnarray*}$ zu bringen. Das solltest du von der Schule her eigtl können.

20.06.2008, 22:33

tigerbine

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RE: Eigenvektoren
Bitte doch auch den Formeleditor benutzen. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix}-4&-3&+3 \\ +2 & +3 &-6 \\ -1 & - 3 & +0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Eigenwerte sind (algebraische Vielfachheiten):

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=5,~\lambda_2=\lambda_3=-3 \end{eqnarray*}$

Nun musst Du LGS lösen:

$\begin{eqnarray*} Av_1=\lambda_1v_1 \end{eqnarray*}$

20.06.2008, 22:52

Jasmin

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Hallo?! Natürlich sind in der unteren Matrix die zweite und dritte Zeile linear abhängig, da sagst Du mir nicht neues. Es sind sogar alle drei Zeilen linear abhängig, und genau das ist mein Problem. Auch die Eigenwerte zu bestimmen, war nicht das Problem. Nun von den Eigenwerten zu den Eigenvektoren zu kommen, ist mein Problem da (Rechenweg steht damit da) nach einsetzen für y=-3
bleibt:

-4-(-3) -3 3
2 3-(-3) -6
-1 -3 0-(-3)

bzw.

-1 -3 3
2 6 -6
-1 -3 3

(siehe Frage)
Nun ist mir nicht klar, wie sich hieraus nach x1 und so weiter auflösen lässt.

20.06.2008, 22:54

Jasmin

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Mag ja sein. Aber ich würde es gerne jetzt können oder zumindest wieder verstehen (A.d.V.: mein Abi liegt breits 12 Jahre zurück, studiere erst im Nachhinein) Ich dachte, das Board wäre dazu da, Fragen zu stellen.

20.06.2008, 23:04

Jasmin

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Zitat:

Original von sqrt4
Zunächst sieht man schnell ein, dass 2 der 3 Gleichungen keine neuen Infos enthalten (die 2. ist das (-2)- fache der ersten und die 3. ist identisch zur 1.)

Deshalb gibts hier auch 2 Eigenvektoren zum Eigenwert -3.

Deine Aufgabe ist, die Gleichung $\begin{eqnarray*} -x_1-3x_2+3x_3=0 \end{eqnarray*}$ zu parametrisieren, d.h. die Ebene wie sie momentan gegeben ist in eine Form $\begin{eqnarray*} \vec{r}+\lambda\cdot v_1+ \mu\cdot v_2 \end{eqnarray*}$ zu bringen. Das solltest du von der Schule her eigtl können.

21.06.2008, 11:16

tigerbine

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Ich wiederhole die Bitte um einen sauberen Aufschrieb. Diese hingeknallten Zahlen lesen sich furchtbar unglücklich

Und wenn du es noch nicht kannst, dann gehe ins Forum User Tutorials. Wie kann man Formeln schreiben?

$\begin{eqnarray*} Av^1=\lambda_1v^1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-4&-3&+3 \\ +2 & +3 &-6 \\ -1 & - 3 & +0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 \\v_2\\v_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5v_1 \\5v_2\\5v_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-9&-3&+3 \\ +2 & -2 &-6 \\ -1 & - 3 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 \\v_2\\v_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-3&-1&+1 \\ +1 & -1 &-3 \\ -1 & - 3 & -5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 \\v_2\\v_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-3&-1&+1 \\ +3 & -3 &-9 \\ +3 & +9 & +15 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 \\v_2\\v_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-3&-1&+1 \\ +0 & -4 &-8 \\ +0 & +8 & +16 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 \\v_2\\v_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}-3&-1&+1 \\ +0 & +1 & +2 \\ +0 & +0 & +0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1 \\v_2\\v_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0\\0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_3=t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2=-2t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_1=-\frac{1}{3}(-2t-t) = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v^1=\begin{pmatrix} 1 \\ - 2 \\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.06.2008, 23:17

Jasmin

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danke von herzen. ich verspreche auch, das nächste mal den formeleditor zu benutzen. habe ich ja auch schon mal gemacht. dachte nur, bei der kleinen matrix wär es nicht so...
sollte nicht hingeknallt aussehen. ich war wahrscheinlich auch mies drauf, weil erstens ratlos wegen der aufgabe, zweitens kind krank (39,7 fieber) und drittens blockseminar bis einschließlich samstag.
also wirklich vielen dank und
sorry bitte

23.06.2008, 00:13

tigerbine

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Entschuldigung angenommen und gute Besserung für den Nachwuchs! Heffe es hat nun auch mit der Basis des anderen Eigenraums geklappt. Wink

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