Faktorgruppen

21.03.2006, 21:54

papahuhn

Faktorgruppen

Hallo zusammen,
ich beschäftige mich zur Zeit mit Gruppen und habe Probleme mir konkrete Faktorgruppen vorzustellen. Die theoretische Definition von Linksrestklassen usw. ist mir klar. Vielleicht ein Beispiel:

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe.
$\begin{eqnarray*} G' := <ghg^{-1}h^{-1} | g,h \in G> \end{eqnarray*}$ sei die Kommutatorgruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , also das Erzeugnis aller möglichen Kommutatoren.
Dann ist $\begin{eqnarray*} G/G' \end{eqnarray*}$ eine abelsche Gruppe (die größte Faktorgruppe von G).

Ich habe verstanden, dass $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist, und $\begin{eqnarray*} G/G' \end{eqnarray*}$ damit selbst eine Gruppe ist, aber ich würde gerne wissen inwiefern sich die Eigenschaften der rechten Struktur auf die Faktorstruktur übertragen; und zwar im Allgemeinen, nicht nur in diesem Fall.

Ein zweites Beispiel ist die Darstellung einer Gruppe durch "Erzeuger und definierende Relationen":
Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} T \subseteq Fr(M) \end{eqnarray*}$ (soll freie Gruppe heißen).
Sei $\begin{eqnarray*} N := {<T>}_{Fr(M)} \end{eqnarray*}$ das Normalteilererzeugnis von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Fr(M) \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Normalteiler der $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ enthält. Dann ist $\begin{eqnarray*} Fr(M)/N \end{eqnarray*}$ auch wieder eine Gruppe. Ich habe keinen Ahnung, wie ich mir die Elemente vorstellen soll.
Angeblich sind die Elemente aus $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ in der neuen Gruppe kongruent zu 1.
Doch wie kann man an dieser Darstellung "auf einen Blick" ablesen, zu welcher bekannten Gruppe dieses Konstrukt isomorph ist?

Generell werden einem dauernd Faktorgruppen an den Kopf geworfen ; bei den Homomorphesätzen, Kompositionsreihen, und und und. Bei Ringen geht weiter. Gibt es irgendwelche Hilfsmittel, sich so eine Faktorisierung vorzustellen?

Schonmal danke.

21.03.2006, 23:03

JochenX

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RE: Faktorgruppen

Zitat:

Original von papahuhn
Hallo zusammen,
ich beschäftige mich zur Zeit mit Gruppen und habe Probleme mir konkrete Faktorgruppen vorzustellen.

vorstellen!?

[quot]Ich habe verstanden, dass $\begin{eqnarray*} G' \end{eqnarray*}$ ein Normalteiler in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist, und $\begin{eqnarray*} G/G' \end{eqnarray*}$ damit selbst eine Gruppe ist, aber ich würde gerne wissen inwiefern sich die Eigenschaften der rechten Struktur auf die Faktorstruktur übertragen; und zwar im Allgemeinen, nicht nur in diesem Fall.[/quote]
an was für Eigenschaften denkst du denn?
es gilt: sei N ein Normalteiler in G und G/N die Faktorgruppe
G abelsch => G/N abelsch, die Umkehrung i.A. nicht; das kannst du leicht selbst herleiten
dann gilt zum Beispiel auch: G auflösbar <=> N auflösbar und G/N auflösbar
......

Zitat:

Ein zweites Beispiel ist die Darstellung einer Gruppe durch "Erzeuger und definierende Relationen":
Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge und $\begin{eqnarray*} T \subseteq Fr(M) \end{eqnarray*}$ (soll freie Gruppe heißen).
Sei $\begin{eqnarray*} N := {<T>}_{Fr(M)} \end{eqnarray*}$ das Normalteilererzeugnis von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Fr(M) \end{eqnarray*}$ , also der kleinste Normalteiler der $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ enthält. Dann ist $\begin{eqnarray*} Fr(M)/N \end{eqnarray*}$ auch wieder eine Gruppe. Ich habe keinen Ahnung, wie ich mir die Elemente vorstellen soll.
Angeblich sind die Elemente aus $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ in der neuen Gruppe kongruent zu 1.

was ist denn 1?

Zitat:

Generell werden einem dauernd Faktorgruppen an den Kopf geworfen ; bei den Homomorphesätzen, Kompositionsreihen, und und und. Bei Ringen geht weiter. Gibt es irgendwelche Hilfsmittel, sich so eine Faktorisierung vorzustellen?

i.A. ist da mit vorstellen nicht so viel.... zumindest nicht, wenn die Gruppen selbst nicht konkreter sind....
oftmals sind die Faktorgruppen natürlich auch isomorph zu ganz einfachen Gruppen, z.B. zu irgendwelchen zyklischen.
Dann kann man sich das immer noch nicht vorstellen, aber rechnen damit wird dann ganz leicht....

21.03.2006, 23:23

papahuhn

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RE: Faktorgruppen

Zitat:

Original von LOED
vorstellen!?

Falscher Ansatz? smile

Zitat:

Original von LOED
an was für Eigenschaften denkst du denn?

Es kann doch kein Zufall sein, dass die Gruppe abelsch ist, wenn nach der Kommutatorgruppe faktorisiert wird.

Zitat:

Original von LOED
was ist denn 1?

Das neutrale Element der neuen Gruppe $\begin{eqnarray*} Fr(M)/N \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von LOED
oftmals sind die Faktorgruppen natürlich auch isomorph zu ganz einfachen Gruppen, z.B. zu irgendwelchen zyklischen.
Dann kann man sich das immer noch nicht vorstellen, aber rechnen damit wird dann ganz leicht...

Ja und wie man das erkennt ist mir schleierhaft. Deshalb frage ich ja.

21.03.2006, 23:31

JochenX

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RE: Faktorgruppen

Zitat:

Original von papahuhn

Zitat:

Original von LOED
an was für Eigenschaften denkst du denn?

Es kann doch kein Zufall sein, dass die Gruppe abelsch ist, wenn nach der Kommutatorgruppe faktorisiert wird.

du kannst auch nach anderen Gruppen faktorisieren und dann wirds abelsch.....

Zitat:

Original von LOED
was ist denn 1?

Das neutrale Element der neuen Gruppe $\begin{eqnarray*} Fr(M)/N \end{eqnarray*}$ .

ahso..... kongruent heißt doch üblicherweise, dass sie in der selben Nebenklasse liegen?
aber die 1 der Neuen Gruppe (das Element der Form e+N (e Neutralelement aus Fr(M), + Verknüpfunsname)) liegt nicht in einer Nebenklasse (es ist ja eine).
Oder meinst du, dass alle Elemente aus T in 1 liegen? es liegen ja sogar alle Elemente aus N darin!

Zitat:

Ja und wie man das erkennt ist mir schleierhaft. Deshalb frage ich ja.

üblicherweise z.B. bei endlichen Gruppen über die Kardinalitäten.
z.B. ord(G)=63, ord(N)=9 NT=> G/N isomorph zu Z/7Z....

22.03.2006, 00:29

papahuhn

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RE: Faktorgruppen

Zitat:

Original von LOED
du kannst auch nach anderen Gruppen faktorisieren und dann wirds abelsch.....

Immer?

Zitat:

Original von LOED
Oder meinst du, dass alle Elemente aus T in 1 liegen? es liegen ja sogar alle Elemente aus N darin!

Ja, das meinte ich eigentlich.

Zitat:

Original von LOED
üblicherweise z.B. bei endlichen Gruppen über die Kardinalitäten.
z.B. ord(G)=63, ord(N)=9 NT=> G/N isomorph zu Z/7Z....

Bei dieser Erzeuger-Relationsgeschichte bricht man sich selbst bei der Ordnung einen ab.

Summa summarum: Vorstellen braucht man sich das nicht, rechnen reicht?

22.03.2006, 02:21

JochenX

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ne, immer sicher nicht smile

nicht jede Faktorgruppe ist abelsch.... sonst wärs ja einfach
aber Faktorgruppen von abelschen Gruppen, die sind immer abelsch.

und Faktorgruppe Gruppe/Kommutatoruntergruppe eben auch.
Für abelsche Gruppen ist das z.B. die Gruppe selbst..... smile

zu der anderen Sache: T ist eine Teilmenge von N
nimm ein beliebiges Element aus N, nennen wir es n
die Nebenklasse von n ist n+N=0+N (!), also das neutrale Element der Faktorgruppe; da ist nichts weltbewegendes dran

wegen mir ist es auch 1*N, wenn du eine abelsche Gruppe mit * hast Augenzwinkern

Zitat:

Summa summarum: Vorstellen braucht man sich das nicht, rechnen reicht?

das kommt natürlich ganz darauf an, was du machen willst..... aber bei nichtendlichen Gruppen (wobei unendlich auch schon früher anfangen kann Augenzwinkern

) kann ich mir unter "vorstellen" nicht recht was vorstellen. smile

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