Rosinenbrötchen [ehemals: Bernoulli - Geburtstage]

22.03.2006, 18:10	skizzenking	Auf diesen Beitrag antworten »
Rosinenbrötchen [ehemals: Bernoulli - Geburtstage] Hallo, irgendwie mache ich Bernoulli Aufgaben grundsätzlich falsch. Z.B. diese hier: In 50 von 500 Brötchen eines Bäckers findet man keine Rosinen. Schätze, wie viele Rosinen er in den Teig mischt. Ich weiß nicht so wirklich, wo ich da ansätzen soll. Ich meine, dass k=0 ist. n ist gefragt. bei p bin ich mir nicht sicher. Weiß jemand, wie ich bei solchen Aufgaben weitermache?
22.03.2006, 23:11	JochenX	Auf diesen Beitrag antworten »
ich sehe hier kein Bernoulliexperiment - wenn es Rosinenbrötchen sind, dann sehe ich da aher Beschiss am Kunden. Aber ich glaube, wir hatten schon mal was ähnliches nur andersrum. Aber wo genau siehst du denn dein Bernoulliexperiment?
23.03.2006, 07:46	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Falls in genau 50 der 500 Brötchen keine Rosinen zu finden sind, dann würde ich so etwa 1151 Rosinen schätzen. Das ist eine Maximum-Likelihood-Schätzung, mit einer allerdings unzulässigen Annahme. Dummerweise ist die exakte Rechnung in diesem Fall der reinste Horror.
24.03.2006, 14:19	skizzenking	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, naja, die Aufgabe steht im Kapitel Bernoulli-Versuche. Davor ist eine ähnliche Aufgabe, die ich aber lösen konnte: Es gibt 260 Tage im Jahr an denen an denen kein Schüler geburtstag hat. Wieviele Schüler sind im Jahrgang. Da habe ich angenommen, dass P(Geburtstag)=1/365. Die Wahrscheinlichkeit, dass keiner Geburtstag hat ist (364/365)^n und dieses müsste, dann gleich der relativen Häufigkeit, dass keiner Geburtstag hat, sein. (364/365)^n=260/365 Naja, so, denke ich, geht diese Aufgabe. Geht die andere vielleicht so ähnlich?
24.03.2006, 18:15	AD	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so geht's nicht mit den Geburtstagen. Der Kardinalfehler ist die Annahme, dass die 365 Einzelereignisse, jeweils an einem bestimmten Tag Geburtstag zu haben, unabhängig sind. Sie sind zwar gleichwahrscheinlich, aber sie sind nicht unabhängig !!! Ansonsten kommt nämlich sowas paradoxes raus: Geburtstage - Bernoulli-Aufgabe EDIT: Ok, außerdem mal meine Überlegungen zur vorliegenden Aufgabe, die tatsächlich mit dem Geburtstagsproblem verwandt ist: (1) Betrachten wir's erstmal exakt: Wir haben $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Rosinen in $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Brötchen verteilt, jede unabhängig von der anderen. Dann ist das Anzahltupel $\begin{eqnarray} (X_1,\ldots,X_N) \end{eqnarray}$ der Rosinen in den einzelnen Brötchen multinomialverteilt mit den Parametern $\begin{eqnarray} \left(n;\frac{1}{N},\ldots,\frac{1}{N}\right) \end{eqnarray}$ . Die Wahrscheinlichkeit, dass in genau $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ Brötchen keine Rosinen sind, ergibt sich gemäß $\begin{eqnarray} p(n) = {N \choose M}\cdot P(X_1 =\cdots = X_M=0,X_{M+1}>0,\ldots,X_N>0) \end{eqnarray}$ Diese Wahrscheinlichkeit explizit auszudrücken ist das, was ich mit reinster Horror gemeint habe, selbst wenn es "nur" um die festen Werte $\begin{eqnarray} N=500, M=50 \end{eqnarray}$ geht. Vermutlich ist mit der Siebformel (Prinzip von Inklusion und Exklusion) was zu machen, sieht jedenfalls ganz danach aus. Wie auch immer, für eine Maximum-Likelihood-Schätzung müsste man jetzt diese Wahrscheinlichkeit bzgl. $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ (was ja implizit drinsteckt) maximieren... ____________________________________________________________ (2) Die Alternative ist folgende Betrachtungsweise: Wir interessieren uns zunächst nicht für die Anzahl Rosinen $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ , die der Bäcker in den Teig für die $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Brötchen mischt. Nein, wir gehen eher von einer Großbäckerei aus und interessieren uns für die Intensität $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , die für die mittlere Anzahl Rosinen pro Brötchen steht. Dann ist die Anzahl Rosinen pro Brötchen $\begin{eqnarray} X_k \end{eqnarray}$ poissonverteilt mit Parameter $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ , und die Anzahlen $\begin{eqnarray} X_1,\ldots,X_N \end{eqnarray}$ sind unabhängig. (Genau diese Annahme trifft beim eigentlich passenden Modell (1) aber nicht zu, siehe oben: Dort sind diese Anzahlen voneinander abhängig, sie sind ja gerade über die Summenbedingung $\begin{eqnarray} X_1+\cdots+X_N=n \end{eqnarray}$ miteinander verkoppelt!) Jedenfalls kommt man mit dieser Unabhängigkeit und der Poissonverteilung schnell ans Ziel: Es ist $\begin{eqnarray} P(X_k=0)=e^{-\lambda}=:q \end{eqnarray}$ und folglich gilt für obiges $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ , als Funktion von $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ geschrieben: $\begin{eqnarray} p(q) = {N \choose M}\cdot P(X_1 =\cdots = X_M=0,X_{M+1}>0,\ldots,X_N>0) = {N \choose M}\cdot q^M(1-q)^{N-M} \end{eqnarray}$ Per Maximum-Likelihood ergibt sich ein Optimalwert von $\begin{eqnarray} q^ = \frac{M}{N} \end{eqnarray}$ , und folglich $\begin{eqnarray} \lambda^* = -\ln(q^) = \ln\frac{N}{M} \end{eqnarray}$ . Schließlich nehmen wir jetzt als Schätzwert für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die mittlere Anzahl Rosinen in allen $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ Brötchen, die sich gemäß dieser Intensität $\begin{eqnarray} \lambda^ \end{eqnarray}$ ergibt, und das ist $\begin{eqnarray} n^* = N\cdot\lambda^* = N\ln\frac{N}{M} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} N=500, M=50 \end{eqnarray}$ ergibt das die von mir erwähnten $\begin{eqnarray} n^* = 1151 \end{eqnarray*}$ . ____________________________________________________________ Die Frage ist jetzt, wie groß die Abweichung der Ergebnisse von (1) und (2) ist, dazu müsste man (1) wirklich mal ausrechnen... Übrigens, für Kenner der statistischen Physik: (1) kann man als kanonisches, (2) hingegen als großkanonisches Ensemble bezeichnen.

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