Ableitung von einer gebr. rationalen Funktion

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Shayariel Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung von einer gebr. rationalen Funktion
Hallo!

Hilfe

Wie kann ich hier von die Ableitung bilden:

f (x) = (x^3 -8)/(2x^2-8)

Sie lautet f'(x) = (2x^2+8x)/(4(x+2)^2), aber ich habe keine Ahnung, wie ich dazu komme...

Wäre lieb, wenn mir jemand helfen könnte...
Shayariel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ableitung von einer gebr. rationalen Funktion
Nein.. .Warum sind jetzt smileys an Stellen, an denen sie nicht sein sollen???
das soll natürlich so heißen:

f(x) = ( x^3 - 8 ) / ( 2 * x^2 - 8 )

Sorry...
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Also:



Also nimmt man folgendes an : u(x) = x³-8 und v(x) = 2x²-8

die Quotientenregel lautet folgendermaßen



Mit ein wenig Geschick im Umformen, ausmultiplizieren und kürzen
sollte dann das richtige Ergebniss herauskommen.
Eisloeffel Auf diesen Beitrag antworten »

Ist nicht schwer ... Auch hier gilt die Quotientenregel.



Somit lautet die Ableitung




So und wenn ich keinen FEhler gemacht habe und du noch alles zusammenfasst und kürzt kommste auf dein Ergebnis


MfG Eisi
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

@Eisloeffel

Es ist aber sehr ungünstig f(x) in der Quotientenregel
zu verwenden, da das doch schon die Funktion selber ist.
Gemeint sind aber Zähler (Z(x)) und Nenner (N(x)).
Soll keine Kritik sondern nur ein Hinweis sein : )
Viele Grüße
Shayariel Auf diesen Beitrag antworten »

Die Quotientenregel habe ich ja angewandt, aber anscheinend fehlt mir einfach das Geschick im Umformen und ausmultiplizieren, wie du es nennst...
 
 
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Zeig doch einfach mal deinen Rechenweg.
Dabei lernt man am besten.
Eisloeffel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BraiNFrosT
@Eisloeffel

Es ist aber sehr ungünstig f(x) in der Quotientenregel
zu verwenden, da das doch schon die Funktion selber ist.
Gemeint sind aber Zähler (Z(x)) und Nenner (N(x)).
Soll keine Kritik sondern nur ein Hinweis sein : )
Viele Grüße


Joah ich sehs auch grade, sorry :P
Shayariel Auf diesen Beitrag antworten »

f'(x) =( 3x^2 * (2x^2 - 8) - (x^3 - 8) * 4x ) / (( 2x^2 -8)^2)

f'(x) = ( 6x^4 - 24x^2 - 4x^4 + 32x ) / (( 2x^2 -8)^2)

f'(x) = ( 2x^4 - 24x^2 + 32x ) / (( 2x^2 -8)^2)

und wie mach ich dann weiter?
warum muss ich überhaupt weiter machen? das kann ich gar nicht nachvollziehen... :(

Edit: Hab dir mal die Smilies weggemacht. Ben
Shayariel Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin sogar zu blöd, zum eintippen... AHHH!

also nochmal:

f'(x) =( 3x^2 * ( 2x^2 -8 ) - ( x^3 - 8 ) * 4x ) / (( 2x^2 - 8 ) ^2)

f'(x) = ( 6x^4 - 24x^2 - 4x^4 + 32x ) / (( 2x^2 - 8 ) ^2)

f'(x) = ( 2x^4 - 24x^2 + 32x ) / (( 2x^2 - 8 ) ^2)
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Das gleiche habe ich auch herausbekommen.
Für eine komplette Kurvendiskussion wird ja nicht nur
die erste sondern auch zweite (evtl. dritte ... ) Ableitung
benötigt. Und je kompakter die Funktion desto leichter fällt einem
die Ableitung ( und desto fehlerfreier )
Wo stammt denn die Lösung her ?
PS. Das mit den Smilies macht nix : )
Ich weiß ja das da ne 8 steht
Shayariel Auf diesen Beitrag antworten »

Von meinem Mathelehrer! Ich habe sie auch mit Turboplot überprüft und sie stimmt, aber der Weg ist mir absolut schleierhaft.
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Na gut. Dann rechne ich das mal vor.


Soweit waren wir ja.
Klammern wir mal 2x im Zähler aus

Eine Nullstelle des Zählers wäre 2. Mit dieser Kenntniss
wird er weiter in seine Linearfaktoren zerlegt


Kurze Anmerkung zum Nenner :


Den Nenner können wir auch in seine Linearfaktoren zerlegen :


Jetzt noch kürzen :


und ausmultiplizieren :


Und wenn dein Mathelehrer es schon wissen will, dann hätte er
ja die 2 auch noch kürzen können :
Shayariel Auf diesen Beitrag antworten »

Danke!!!
Du bist wunderbar!!!
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Danke das hört man gern : )
Dann hab ich ja meine gute Tat für heute vollbracht
und darf ins Bett : ) Schläfer
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von BraiNFrosT

Eine Nullstelle des Zählers wäre 2. Mit dieser Kenntniss
wird er weiter in seine Linearfaktoren zerlegt


Wenn du eine Nulstelle hast, kannst du doch nicht einfach in



zerlegen. Es sieht so aus, als hättest du die Nullstelle x=2 gefunden und dann so zerlegt. Aber man muss doch erst die anderen beiden Nullstellen finden und dann kann man erst zerlegen oder? Mir is ja klar, dass bei x=-4 eine Nullstelle und bei x=2 zwei Nullstellen liegen, aber hast du jetzt erst diese drei Nullstellen herausgefunden und dann zerlegt oder gibt es eine Möglichkeit, mit der man mit der gefundenen Nullstelle x=2 sofort zerlegen kann??
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm. Also ich habe es nach dem Horner Schema gemacht.
Aber es würde auch per Poynom-Division funktionieren :
(Die 2x lassen wir schonmal außen vor...)

(x³-12x+16) : (x-2) = x²+2x-8

x²-2x-8 hab ich dann im Kopf zerlegt in (x-2)(x+4)
Wäre hier etwas anderes herausgekommen, hätte
man die Nullstellen evtl nochmal berechnen müssen.

Dann ergibt sich für den Zähler : 2x(x-2)(x-2)(x+4)

Beantwortet das deine Frage einigermaßen ?
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »

Benutz mal die Boardsuche und such nach Polynomdivision.

Gruß vom Ben
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

@ MSS

Vielleicht ist dir bekannt, daß man bei Kenntnis einer Nullstelle a des Polynoms p(x) einfach den Linearfaktor x-a abspalten kann (Polynomdivision): p(x) = q(x)·(x-a) mit einem Polynom q(x). Wenn man weitere Nullstellen kennt, kann man dann mit q(x) entsprechend fortfahren.

In diesem Beispiel ist p(x) = x³-12x+16 .
Zum Beispiel durch Probieren findet man die Nullstellen 2 und -4. Also kann man x-2 und dann x+4 abspalten. Man kann auch gleich das Produkt (x-2)(x+4) abspalten. Da muß man zwar erst ausmultiplizieren: (x-2)(x+4)=x²+2x-8, hat aber eine Polynomdivision weniger, was Arbeit erspart:

..x³+0x²-12x+16 = (x²+2x-8 )(x-2)
-(x³+2x²- 8x......)
------------------------
......-2x²- 4x+16
....-(-2x²- 4x+16)
------------------------
.................... 0

Also gilt x³-12x+16 = (x-2)(x+4)(x-2) = (x-2)²(x+4)


@ alle

Der Funktionsterm f(x) ist künstlich kompliziert gemacht, denn der Linearfaktor x-2 ist schlicht überflüssig! Da nämlich x³-8 die Nullstelle 2 hat, kann man x-2 abspalten. Mit einer Polynomdivision findet man:
x³-8 = (x-2)(x²+2x+4).
Und beim Nenner ist's sowieso klar: 2x²-8 = 2(x²-4) = 2(x-2)(x+2).

Also lautet der Funktionsterm mit niedrigeren Graden in Zähler und Nenner



Durch das vollständige Wegkürzen des Linearfaktors x-2 im Nenner ist allerdings die Definitionslücke 2 verschwunden. Wenn man also die alte Funktion "wortgetreu" erhalten will, muß man den Definitionsbereich auf R\{2;-2} einschränken, was für die Stelle x=2 etwas künstlich wirkt (hebbare Lücke).
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Na dann meld ich mich mal wieder:

Also Polynomdivision kenne ich, auch die Linearfaktorenzerlegung (sonst hätt ich ja nicht gefragt Augenzwinkern ). Ich habs auch so gemacht, dass ich die Nullstelle 2 gefunden habe und dann Polynomdivision gemacht hatte. Das Ergebnis war:



So hatte ich dann folgende Gleichung (2x weggelassen):



Dann habe ich einfach die Nullstellen der quadratischen Gleichung in der Klammer mit pq-Formel herausgefunden und dann einfach die kubische Ausgangsgleichung in Leineafaktoren zerlegt:



wobei ich denke, dass Polynomdivision meistens relativ aufwändig ist (habs allerdings grad erst gelernt und noch nicht so oft gemacht und bin deswegen auch nicht so sicher, weswegen es bei mir wahrscheinlich jetzt noch ein wenig länger dauert traurig ).

Horner-Schema verwirrt kenn ich leider noch nicht, aber ihr könnts mir ja vielleicht erklären, wenns nicht zu schwer für einen 10.-Klässler ist.



Zitat:
Original von Leopold

@ alle

Der Funktionsterm f(x) ist künstlich kompliziert gemacht, denn der Linearfaktor x-2 ist schlicht überflüssig! Da nämlich x³-8 die Nullstelle 2 hat, kann man x-2 abspalten. Mit einer Polynomdivision findet man:
x³-8 = (x-2)(x²+2x+4).


Das verstehe ich nicht ganz! Wo nimmst du denn jetzt die x³-8 her? Was hat das denn mit diesem Fall hier zu tun??
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Mathespezialschüler
So hatte ich dann folgende Gleichung (2x weggelassen):



Dann habe ich einfach die Nullstellen der quadratischen Gleichung in der Klammer mit pq-Formel herausgefunden

Die pq-Formel ist zwar okay. Aber man kann das ja bereits nach
den binomischen Formeln im Kopf hinbekommen.
Ansonsten ist dein Weg natürlich mathematisch vollkommen
korrekt
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
Zitat:
Original von Leopold

@ alle

Der Funktionsterm f(x) ist künstlich kompliziert gemacht, denn der Linearfaktor x-2 ist schlicht überflüssig! Da nämlich x³-8 die Nullstelle 2 hat, kann man x-2 abspalten. Mit einer Polynomdivision findet man:
x³-8 = (x-2)(x²+2x+4).


Das verstehe ich nicht ganz! Wo nimmst du denn jetzt die x³-8 her? Was hat das denn mit diesem Fall hier zu tun??


Das war der Zähler in f(x) ganz zu Anfang.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann hat Leopold die Ausgangsfunktion f(x) erst umgeformt und vereinfacht, damit man nicht die komplizierte Funktion



ableiten muss und nach dem Ableiten nicht so kompliziert vereinfachen muss, wie es BraiNFrosT getan hat, sondern einfach nur die Funktion



ableiten muss und dann viel schneller vereinfachen kann.
Habe ich das jetzt so richtig verstanden??
BraiNFrosT Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, hast du.
Allerdings musst du dir das was Leopold über die Lücke
geschrieben hat noch zu Herzen nehmen.
Die Ursprungsfunktion war auf 2 (wenn ich mich richtig erinnere)
nicht definiert, weil der Nenner bei 2 Null geworden wäre.
Da auch der Zähler bei x=2 Null geworden wäre handelt es sich
hierbei um eine Lücke (nur Nenner = 0 => Polstelle)
Wird der Linearfaktor x-2 gekürzt entstehlt eine Funktion
die auf 2 Definiert wäre. Da liegt der Unterschied. Hoffe ich
hab das halbwegs plausibel erklärt.
Man kann im übrigen mit der gekürzten Version weiterarbeiten (Ableitungen etc.)

Edit :
Zitat:
Original von Mathespezialschüler
wie es BraiNFrosT getan hat

Du brauchst bei dem blöden Nick nicht auf groß und KLEINschreibung
achten ........ brainfrost tuts auch : )

Viele Grüße
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Arbeitserleichterung, lieber bRA iN f rO st!
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit der Änderung der Definitionsmenge is mir klar gewesen.



Zitat:
Original von BraiNFrosT

Man kann im übrigen mit der gekürzten Version weiterarbeiten (Ableitungen etc.)

Genau das meinte ich auch mit

Zitat:
Original von Mathespezialschüler

...damit man nicht die komplizierte Funktion



ableiten muss und nach dem Ableiten nicht so kompliziert vereinfachen muss, wie es BraiNFrosT getan hat, sondern einfach nur die Funktion



ableiten muss und dann viel schneller vereinfachen kann.
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