Nocheinmal Induktion

23.03.2006, 09:36

oldenda

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Nocheinmal Induktion

Hallo!
Tut mir leid, dass ich das Forum im Moment mit meinen Fragen "überschwemme", aber hab bald eine wichtige Prüfung. Danach ist dann auch erst einmal Schluss.
Diesmal kann man meinen Anhang auch viel besser lesen.
Geht mal wieder um eine vollständige Induktion. Hab versucht sie zu lösen, aber bin mir wieder nicht so sicher, ob ich das alles so richtig gemacht habe. Besonders beim vorletzten Schritt bin ich mir sehr unsicher.
Ihr seid echt super!

23.03.2006, 11:11

klarsoweit

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RE: Nocheinmal Induktion
Eijei, da geht aber einiges durcheinander. unglücklich

unglücklich

Ich mache mal deine Abschätzung mit konkreten Zahlen:
Wegen 7 > 6 ist auch: 2*3+4*5 > 2*6*5
Wie man leicht nachrechnet, ist das falsch. Das Stichwort heißt hier: Punkt vor Strichrechnung und Distributivgesetz.

Ich würde so vorgehen:
$\begin{eqnarray*} 2^{n-1+1} \cdot (a^{n+1} + b^{n+1}) = 2^{n-1} \cdot (a^{n+1} + a^{n+1} + b^{n+1} + b^{n+1}) \end{eqnarray*}$

In eine Nebenrechnung mußt du zeigen, daß gilt:
$\begin{eqnarray*} a^{n+1} + b^{n+1} > a\cdot b^n + b \cdot a^n \end{eqnarray*}$

Im übrigen ist die Aussage im Induktionsanfang, daß a² + b² > 2ab ist, zwar richtig, aber im ersten Moment nicht einsichtig.

23.03.2006, 12:59

Daktari

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Ich würde in der Induktionsannahme anderst begründen.
$\begin{eqnarray*} 2a^2+2b^2 > a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2-2ab+b^2>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (a-b)^2>0 \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} a \neq b -> a-b \neq 0 \end{eqnarray*}$ damit ist a-b entweder >0 oder kleiner 0. Wenn man das quadriert wirds auf jedem Fall > 0.

23.03.2006, 13:15

klarsoweit

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@Daktari: genau das wollte ich von oldenda sehen. Wink

Wink

23.03.2006, 13:27

Daktari

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@ klarsoweit
sorry, aber im Grunde stimmt die Begründung von ihr ja, es war nur nicht so sauber hingeschrieben

Der Induktionsschritt ist schwieriger. Hab vorhin selbst ne Weile gebraucht. Ist aber mit deinen Tips gut zu lösen.

23.03.2006, 14:13

oldenda

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RE: Nocheinmal Induktion
Hallo!
Habs grad noch einmal mit deinen Hinweisen versucht, aber ich bekomms einfach nicht raus. Ich muss doch irgendwie versuchen, die Induktionsvorraussetzung aus der Behauptung zu "extrahieren",

$\begin{eqnarray*} 2^{n-1+1} \cdot (a^{n+1} + b^{n+1}) = 2^{n-1} \cdot (a^{n+1} + a^{n+1} + b^{n+1} + b^{n+1}) \end{eqnarray*}$

mir fällt nur doch das ein, aber das bringt einen auch nicht weiter, oder??
$\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \cdot (a^{n}\cdot ({a+a})+b^{n}\cdot ({b+b})) \end{eqnarray*}$

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23.03.2006, 14:27

klarsoweit

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RE: Nocheinmal Induktion
Im Prinzip ist das richtig. Aber zeige erstmal dies hier:
$\begin{eqnarray*} a^{n+1} + b^{n+1} > a\cdot b^n + b \cdot a^n \end{eqnarray*}$

Noch ein Tipp, zeige und verwende:
$\begin{eqnarray*} (a^{n} - b^{n}) \cdot (a - b) > 0 \end{eqnarray*}$

23.03.2006, 15:07

oldenda

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RE: Nocheinmal Induktion
Tut mir leid, aber ich verzweifle grad traurig

traurig

. Weiß nicht einmal, woher du das hast und in welcher Beziehung das zu der Aufgabe steht:

$\begin{eqnarray*} a^{n+1} + b^{n+1} > a\cdot b^n + b \cdot a^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (a^{n} - b^{n}) \cdot (a - b) > 0 \end{eqnarray*}$ [/quote]

Ich glaub ich hab mich da auf ein Verfahren zur Lösung eingefahren und komm da grad nicht mehr raus.
Sorry

23.03.2006, 15:11

klarsoweit

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RE: Nocheinmal Induktion
Ok, nehmen wir mal an, es gilt
$\begin{eqnarray*} a^{n+1} + b^{n+1} > ab^n + ba^n \end{eqnarray*}$
und fangen wir mal den Induktionsbeweis an:

Wir hatten:
$\begin{eqnarray*} 2^{n-1+1} \cdot (a^{n+1} + b^{n+1}) = 2^{n-1} \cdot (a^{n+1} + a^{n+1} + b^{n+1} + b^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du die rechte Seite mit der obigen Ungleichung nach unten abschätzen aber nur ein $\begin{eqnarray*} a^{n+1} + b^{n+1} \end{eqnarray*}$ . Die anderen beiden bleiben stehen.

23.03.2006, 15:45

oldenda

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Hab versucht das was du geschrieben hast erst einmal aufzuschreiben. Ist bis dahin schon falsch, oder? Musst mich echt für blöd halten! unglücklich

unglücklich

Steh im Moment völlig auf dem Schlauch!!!

23.03.2006, 15:47

oldenda

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RE: Nocheinmal Induktion
Wo kommt das eigentlich her??
$\begin{eqnarray*} (a^{n} - b^{n}) \cdot (a - b) > 0 \end{eqnarray*}$ [/quote]

23.03.2006, 15:54

klarsoweit

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RE: Nocheinmal Induktion
Das habe ich mir einfach ausgedacht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Nee, Spaß beiseite, das ist noch zu zeigen. Aber das kommt später.

Also ich mache mal den nächsten Schritt:
$\begin{eqnarray*} 2^{n-1+1} \cdot (a^{n+1} + b^{n+1}) = 2^{n-1} \cdot (a^{n+1} + a^{n+1} + b^{n+1} + b^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Die beiden mittleren Summanden schätze ich nach unten ab mit Hilfe von:
$\begin{eqnarray*} a^{n+1} + b^{n+1} > ab^n + ba^n \end{eqnarray*}$

dann haben wir also:

$\begin{eqnarray*} 2^{n-1+1} \cdot (a^{n+1} + b^{n+1}) = 2^{n-1} \cdot (a^{n+1} + a \cdot b^n + b \cdot a^n + b^{n+1}) = 2^{n-1} \cdot (a^{n} + b^n) \cdot (a + b) \end{eqnarray*}$

Jetzt bist du wieder dran.

23.03.2006, 16:39

oldenda

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Wusste ehrlich gesagt nicht was "nach unten abschätzen" bedeutet. Hab das noch nie gehört.
Habs weiter probiert und das kam raus:
Was nu????

23.03.2006, 17:00

cindy

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Das kann wirklich nicht sein!!!!

Warum machst du dann nicht gleich aus dem ">" ein "=" ??????

Dann bist du doch fertig!!!

23.03.2006, 19:22

klarsoweit

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Zitat:

Original von oldenda
Habs weiter probiert und das kam raus:
Was nu????

Fast ok. Das =-Zeichen in der 2. Zeile ist falsch, das muß ein > sein.
Dafür ist das >-Zeichen in der letzten Zeile ein =-Zeichen.
Mit diesen Korrekturen wäre der Induktionsschritt erledigt.

Bliebe also noch diese Geschichte:
$\begin{eqnarray*} (a^{n} - b^{n}) \cdot (a - b) > 0 \end{eqnarray*}$

23.03.2006, 20:14

oldenda

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RE: Nocheinmal Induktion
Mein Problem liegt glaub ich aber erst noch einmal darin, dass ich nicht weiß, wo das her kommt, wie ich darauf komme und wie ich das beweise.
$\begin{eqnarray*} a^{n+1} + b^{n+1} > a\cdot b^n + b \cdot a^n \end{eqnarray*}$
Tut mir leid dasich dir so viel Mühe mache.

23.03.2006, 20:23

AD

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@oldenda

Zitat:

Original von klarsoweit
Bliebe also noch diese Geschichte:
$\begin{eqnarray*} (a^{n} - b^{n}) \cdot (a - b) > 0 \end{eqnarray*}$

Hast du mal das hier ausmultipliziert? Solltest du tun!

23.03.2006, 20:36

oldenda

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RE: Nocheinmal Induktion
Ok, dann kommt letztendlich das wieder raus:

$\begin{eqnarray*} a^{n+1} + b^{n+1} > a\cdot b^n + b \cdot a^n \end{eqnarray*}$

Aber wie man auf diese Ungleichung kommt weiß ich leider immer noch nicht.

23.03.2006, 21:18

AD

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Betrachte getrennt die beiden Fälle a<b und a>b, und schau dir in beiden Fällen die Vorzeichen der Faktoren $\begin{eqnarray*} (a-b) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a^n-b^n) \end{eqnarray*}$ an. Ausführlicher kann ich's nun wirklich nicht schreiben.

24.03.2006, 08:29

oldenda

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Durch eine Fallunterscheidung würde ich dadurch die Gleichung beweisen. Das versteh ich ja, aber:
Um diese Induktion lösen zu können, brauchte ich diese Ungleichung.

$\begin{eqnarray*} a^{n+1} + b^{n+1} > a\cdot b^n + b \cdot a^n \end{eqnarray*}$

Allein wär ich nie drauf gekommen, weil ich immer noch nicht weiß woher sie kommt. Klarsoweit hat sich die ja nicht ausgedacht.

24.03.2006, 09:13

klarsoweit

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RE: Nocheinmal Induktion
Doch habe ich. Die Frage ist, wie ich darauf gekommen bin.
Nun. Wir haben auf der linken Seite den Term:
(I) $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \cdot (a^{n+1} + a^{n+1} + b^{n+1} + b^{n+1}) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich mir überlegt, daß es doch schön wäre, wenn stattdessen sowas da stünde:
(II) $\begin{eqnarray*} 2^{n-1} \cdot (a^{n} + b^n) \cdot (a + b) \end{eqnarray*}$

Dann kann man die Induktionsvoraussetzung verwenden und ist am Ziel.

Also habe ich mal die Differenz von $\begin{eqnarray*} (a^{n+1} + a^{n+1} + b^{n+1} + b^{n+1}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a^{n} + b^n) \cdot (a + b) \end{eqnarray*}$ gebildet. Das führt zu dem Term:

(III) $\begin{eqnarray*} a^{n+1} - a \cdot b^{n} - b \cdot a^{n} + b^{n+1} \end{eqnarray*}$

Wenn das größer Null ist, dann kann man (I) nach unten durch (II) abschätzen. Und wenn man zeigen will, daß etwas größer Null ist, dann sind Faktoren nicht selten günstiger als Summanden. Also schaue ich mal, ob sich (III) geeignet faktorisieren läßt.

Ich gebe aber zu, daß für die Aufgabe ein gewisses mathematisches Gefühl nötig ist. Die üblichen Hauruck-Methoden sind da eher ungeeignet. Frage am Rande: bei welcher Ausbildung taucht diese Aufgabe auf?

24.03.2006, 09:38

oldenda

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RE: Nocheinmal Induktion
Erst nocheinmal vielen, vielen Dank! Wär allein wirklich nie drauf gekommen. Dies Aufgabe kommt bei den Übungsaufgaben zur Elementaren Zahlentheorie im Lehramtsstudium für Grundschulen vor. Die meisten der anderen Induktionen sind sehr leicht zu lösen. Wenn man das Lösungsschema erst einmal verstanden hat sind die wirklich kein Problem. Aber diese Aufgabe war für mich und meine Kommilitoninnen einfach zu schwer.

24.03.2006, 12:51

Daktari

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Zitat:

Original von Arthur Dent
@oldenda

Zitat:

Original von klarsoweit
Bliebe also noch diese Geschichte:
$\begin{eqnarray*} (a^{n} - b^{n}) \cdot (a - b) > 0 \end{eqnarray*}$

Hast du mal das hier ausmultipliziert? Solltest du tun!

wieso muss man das?

$\begin{eqnarray*} Fall1 : a>b \end{eqnarray*}$
dann ist
$\begin{eqnarray*} 1.) a-b>0 \end{eqnarray*}$ und
(wegen a+b>0, folgt, dass wenn b<o ist, dass a>|b| sein muss, a darf wegen dieser Eigenschaft auch nicht negativ sein, denn wegen a+b>0 wäre sonst b>a WIDERSPRUCH)
$\begin{eqnarray*} 2.)a^n > b^n \end{eqnarray*}$ also insbesondere $\begin{eqnarray*} a^n-b^n>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Fall 2: a<b \end{eqnarray*}$
dann ist
$\begin{eqnarray*} 1.)a-b<0 \end{eqnarray*}$
und (gleiche Begründung wie oben)
2.) $\begin{eqnarray*} a^n-b^n<0 \end{eqnarray*}$

Aus Bedingung 1.) und 2.) folgt jeweils, dass $\begin{eqnarray*} (a^n-b^n)(a-b) > 0 \end{eqnarray*}$

Oder bin ich da total auf dem Holzweg?

24.03.2006, 13:04

klarsoweit

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Das ist soweit ok.
Allerdings braucht man letztlich dieses: $\begin{eqnarray*} a^{n+1} + b^{n+1} > a\cdot b^n + b \cdot a^n \end{eqnarray*}$
Daher das Ausmultiplizieren.

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